1、410天体的运动与能量4101、天体运动的机械能守恒二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有图4-10-1当运动天体背离不动天体运动时，不断增大，而将不断减小，可达无穷远处，此时而0，则应满足E0，即例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有图4-10-2我们称=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为倍。另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以
2、对m而言，遵循角动量守恒 或 方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。4102、天体运动的轨道与能量若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。i）椭圆轨道如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为 （ab）则椭圆长，短半轴为a、b，焦距，近地点速度，远地点速度，则有或由开普勒第二定律： 可解得代入E得ii)抛物线设抛物线方程为太阳在其焦点（）处，则m在抛物线顶点处能量为可以证明抛物线顶点处曲率半径，则有得到图4-10-3抛物线轨道能量 iii）双曲线设双曲线方程为焦距，太阳位于焦点（C，0），星体m在双曲线正
3、半支上运动。如图4-10-3所示，其渐近线OE方程为y=bx/a，考虑m在D处与无穷远处关系，有考虑到当，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距为故有 或 联解得双曲线轨道能量小结 椭圆轨道 抛物线轨道 双曲线轨道以下举一个例子质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。图4-10-4现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求（1）转移所需的最少能量；（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化各为多少？解: （1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为，
4、乃有 故得 此时飞船的动能和引力势能分别为所以飞船在2R轨道上的机械能为同理可得飞船在4R轨道上的机械能为 以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即 （2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为 同样可得飞船4R轨道上运行的速度为 设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为。则由开普勒第二定律可得 又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有联立以上两式解之可得故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为 a图4-10-5 例如：三个钢球A、B、C由轻质的长为的硬杆连接，竖立在水平面上，如图4-10-5所示。已知三球质量
5、，距离杆处有一面竖直墙。因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B球竖直位置下降。致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比小很多，求B球落地瞬间三球的速度大小。 解： （1）球碰墙前三球的位置 视A、B、C三者为一系统， A、C在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系图4-10-7统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。以图4-10-6表示C球刚好要碰墙前三球的位置，以表示此时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为，并令BA杆上的M点与系统质心的水平坐标相同，则应有故得 由上述知M点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水
6、平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为，即M点与C球的水平距离为，由此有，即。由上式解得，故有 （2）求三球碰墙前的速度 由于碰墙前M点的水平坐标不变，则在A、C沿水平面滑动过程中的任何时刻，由于图中的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的倍，可见任何时刻C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的倍。以、分别表示图5-2-2中三球的速度，则有 又设沿BC方向的分量为，则由于和分别为杆BC两端的小球速度，则此两小球速度沿着杆方向的投影应该相等，即。再设沿BA方向的分量为，同上道理可得 注意到BA与BC两个方向刚好互相垂直，故得的大小为以两式带入上式，乃得 图4-10-8
7、由于系统与图5-2-1状态到图5-2-2状态的机械能守恒，乃有。以式代入上式。解方程知可得 （3）求C球在刚碰墙后三球的速度 如图4-10-8所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之变化，这一变化的结果是：B球速度沿CB方向的分量与C球速度沿CB方向的分量相等，即 由于BC杆只能传递沿其杆身方向的力，故B球在垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为。故得此时B球速度沿BA方向的分量满足 ， 乃得刚碰撞后B球速度大小为 （4）求B球落地时三球的速度大小 碰撞后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后系统质心速度在水平方向的分量应该方向向左，且由于此后系统不受水平外力，则应维持不变。由上解得的三球速度，可得应该满足。以、诸式代入上式可解得 当B球落地时，A、B、C三小球均在同一水平线上，它们沿水平方向的速度相等，显然，这一速度也就是系统质心速度的水平分量。而B小球刚要落地时，A、C两球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度则还有竖直分量，以落表示此刻B球速度的大小。则由图4-10-8所示的状态到B小球刚要落地时，系统的机械能守恒，由此有以、各式代入上式可解得落= 综合上述得本题答案为：当B小球刚落地时，A、B、C三球的速度大小分别为、和。
