1、第四章DISIZHANG定积分2微积分基本定理课后篇巩固提升A组1.下列各式错误的是()A.02sin d=1B.02cos xdx=1C.e1exdx=-1D.e11xdx=1解析对于A,02sin d=-cos |02=-cos2+cos 0=1,故A正确;对于B,02cos xdx=sin |02=sin2-sin 0=1,故B正确;对于C,e1exdx=ex|e1=ee-e,故C错误;对于D,e11xdx=lnx|e1=lne-ln1=1,故D正确.答案C2.若S1=12x2dx,S2=121xdx,S3=12exdx,则S1,S2,S3的大小关系是()A.S1S2S3B.S2S1S3
2、C.S2S3S1D.S3S2e73ln2,S2S10),则m=.解析由题得0me2xdx=12e2x|0m=12(e2m-1)=32,所以e2m=4,所以2m=2ln2,所以m=ln2.答案ln 26.已知一物体自由下落的速度为v=gt,则当t从2 s至3 s时,物体下落的距离为.解析物体下落的距离s=23g(t)dt=12gt2|23=12g(32-22)=52g.答案52g7.已知函数f(x)=3x2+2x+1,若-11f(x)dx=2f(a)成立,则a=.解析-11f(x)dx=-11(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|-11=4,2(3a2+2a+1)=4,即3a2+2a-1
3、=0,解得a=-1或a=13.答案-1或138.已知212(kx+1)dx4,则实数k的取值范围是.解析12(kx+1)dx=12kx2+x|12=32k+1,232k+14.23k2.答案23k29.计算下列定积分.(1)e033x+2dx;(2)-22(2x+cos x)dx;(3)02(x2-1)dx.解(1)ln(3x+2)=33x+2,e033x+2dx=ln(3x+2)|e0=ln(3e+2)-ln(30+2)=ln3e+22.(2)(sinx+x2)=cosx+2x,-22(2x+cosx)dx=(sinx+x2)|-22=sin2+22-sin-2+-22=2.(3)y=|x2
4、-1|=x2-1,1x2,1-x2,0x0,a1,若02axdx=-2ax|02,则a的值为()A.e-2B.e2C.e-12D.e12解析02axdx=1lnaax|02=a2lna-1lna=-2ax|02=-2a2+2,(a2-1)1lna+2=0.又a0且a1,lna=-12.a=e-12.答案C2.已知f(x)是一次函数,且01f(x)dx=5,01xf(x)dx=176,则f(x)的解析式为()A.4x+3B.3x+4C.-4x+2D.-3x+4解析设f(x)=ax+b(a0),则01f(x)dx=01(ax+b)dx=12ax2+bx|01=12a+b=5.01xf(x)dx=0
5、1(ax2+bx)dx=13ax3+12bx2|01=13a+12b=176,解方程组12a+b=5,13a+12b=176,得a=4,b=3.故f(x)=4x+3.答案A3.一物体在力F(x)=5,0x2,3x+4,x2(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)所做的功为()A.54 JB.40 JC.36 JD.14 J解析由题意得W=04F(x)dx=025dx+24(3x+4)dx=5x|02+32x2+4x24=36(J).故选C.答案C4.已知f(x)=ax2+bx+c(a0),且f(-1)=2,f(0)=0,01f(x)dx=-2,
6、求a,b,c的值.解f(-1)=2,a-b+c=2.又f(x)=2ax+b,f(0)=b=0.01f(x)dx=01(ax2+bx+c)dx=13ax3+12bx2+cx|01=13a+12b+c,13a+12b+c=-2.解方程组a-b+c=2,b=0,13a+12b+c=-2,得a=6,b=0,c=-4.5.如图所示,在区间0,1上给定曲线y=x2,试在此区间内确定t的值,使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.解S1等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t围成的图形的面积,即S1=tt2-0tx2dx=23t3.S2等于曲线y=x2与x轴、x=t及x=1围成的图形的面积去掉一矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,即S2=t1x2dx-t2(1-t)=23t3-t2+13.所以阴影部分面积S=S1+S2=43t3-t2+13(0t1).令S(t)=4t2-2t=4tt-12=0,得t=12或t=0(舍去).因为当0t12时,S(t)0;当120;所以当t0,12时,S(t)是减少的,当t12,1时,S(t)是增加的.所以当t=12时,Smin=S12=14.
