1、北京101中学20182019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（l，1，2）的距离相等，则点N的坐标为（ ）A. （0，0，） B. （0，0，）C. （0，0，） D. （0，0，）【答案】D【解析】【分析】根据点N在z轴上，设出点N的坐标，再根据N到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN，BN，解方程即可求得N的坐标【详解】解：设N（0，0，z）由点N到点A（1，0，3）与点B（1，1，2）的距离相
2、等，得：12+02+（z3）2（10）2+（10）2+（2z）2解得z，故N（0，0，）故选：D【点睛】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题2.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）A. BD与CF成60角 B. BD与EF成60角 C. AB与CD成60角 D. AB与EF成60角【答案】C【解析】试题分析：由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到BD与CF成0角，BD与EF成90角，AB与CD成60角，AB与EF成90角解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，BDCF，
3、BD与CF成0角，故A错误；BD平面A1EDF，EF平面A1EDF，BD与EF成90角，故B错误；AECD，BAE是AB与CD所成角，ABE是等边三角形，BAE=60，AB与CD成60角，故C正确；ABA1D，又A1DEF，AB与EF成90角，故D错误故选：C考点：异面直线及其所成的角3.若椭圆+=1（ab0）的焦距为2，且其离心率为，则椭圆的方程为（ ）A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1【答案】B【解析】【分析】由题意可知2c2，c1，根据离心率公式e，求得a，b，即可求得椭圆C的标准方程.【详解】由题意可知：2c2，即c1，由椭圆的离心率e，解得：a，b2a2c21，椭
4、圆C的标准方程：；故选：B【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆简单的几何性质，属于基础题.4.5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 120种【答案】B【解析】【分析】5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，与另外3个元素全排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果【详解】解：5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，共有A44A2248，故选：B【点睛】本题考
5、查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，首先排列有限制条件的元素5.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人【答案】C【解析】【分析】设125条以上的频率为x，根据所求频率和为1建立等式，求出x，最后根据频数样本容量频率求出所求【详解】解：设125条以上的频率为x，根据所求频率和为1可知20（0.003+0.006+0.0075+0.009+0.0105+0.012）+x1，解得x0.04该
6、公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有2000.0048故选：C【点睛】本题主要考查了用样本的频率分布估计总体分布，以及频率分布直方图，同时考查了频数样本容量频率等知识，属于基础题6.某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A. 68种 B. 70种 C. 240种 D. 280种【答案】A【解析】【分析】利用间接法，先求出没有限制条件的选法，再排除只有男生（或女生）的选法，问题得以解决.【详解】解：从8个人中选4人共种选法，只有男生（或女生）的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有68种故选：A【点睛】本题考查了排
7、列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题7.在（）5的展开式中，第4项的二项式系数为（ ）A. 10 B. 10 C. 5 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，即可得到结果.【详解】在（）5的展开式的通项公式为 Tr+1（1）rx103r，第4项的二项式系数为故选：A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的二项式系数，属于基础题8.某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列，使得记+a2+an（nN+），则的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】S42说明掷4次硬币，出现了3次正面和一次反面，共有4
8、种情况，而所有的情况共有2416种，由此求得S42的概率【详解】解：由S42可得，掷4次硬币，出现了3次正面和一次反面，共有4种情况，而所有的情况共有2416种，故S42的概率为 ，故选：C【点睛】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了等价转化的数学思想，属于中档题9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据概率，确定构成事件M的长度为线段CD的，根据对称性，当PDCD时，ABPB，利用勾股定理，即可得出结论【详解】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机
9、取一点P，使APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD的，设AB3x，ADy，则根据对称性，当PDCD时，ABPB，由勾股定理可得（3x）2y2+（2x）2，故选：D【点睛】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率10.下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器不能
10、同时接收到信号的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出五个接收器能同时接收到信号的概率，再利用对立事件概率公式即可得到结果.【详解】将六个接线点随机地平均分成三组，共有种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有C41C21C118种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是，则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是故选：B【点睛】本题考查等可能事件的概率，对立事件概率，注意本题中分组为平均分组，其次要结合电学知识分析电路二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，
11、则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为_。（用数字作答）【答案】20【解析】【分析】根据题意，首先从5个号码中，选出两个号码，使其编号与座位号一致，由组合数公式可得情况数目，再分析其余的三个座位与人的编号不同的情况数目，易得第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有2种结果；由分步计数原理相乘得到结果【详解】解：由题意知本题是一个排列、组合及简单计数问题，恰有两个人的编号与座位号一致，则首先从5个号码中，选出两个号码，有C5210种结果，其余的三个座位与人的编号不同，则第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有2种结果，根据分步计数原理得到共有10220种结果，故答案为：20
12、【点睛】本题考查组合公式以及分步计数原理的运用，易错点为当两个相同的号码确定以后，其余的三个号码不同的排法共有2种结果12.若抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则p=_。【答案】4【解析】解：双曲线右顶点坐标为 ，即： .13.设P是椭圆=1上的一点，且，则PF1F2的面积为_。【答案】9【解析】【分析】设出p点的坐标（x1，y1），根据PF1PF2，求出y1，再根据 求面积【详解】解：椭圆C：1的左、右焦点分别为F1（4，0）、F2（4，0），设P（x1，y1），由已知PF1PF2，所以 ，即 （4x1，y1）（4x1，y1）0，x12+y1216，又因为 1，解得 ，所以，PF1F2的面积
13、故答案为：9【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，用到数形结合思想，这是高中数学的一种重要思想14.正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小是_。【答案】【解析】【分析】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出二面角ABD1B1的大小为【详解】解：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），（0，1，0），（1，1，1），（0，0，1），设平面ABD1的法向量，则，取x1，
14、得（1，0，1），设平面B1BD1的法向量（a，b，c），则，取a1，得（1，1，0），设二面角ABD1B1的平面角为，cos|cos|，二面角ABD1B1的大小为故答案为：【点睛】本题考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用15.在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒。当你到达路口时，不是红灯的概率为_。【答案】【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式求解【详解】解：一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是：p1故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认
15、真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用16.若a0+ a1x+a2019x2019（xR），则+的值为_。【答案】【解析】试题分析：令等式中得；再令,则,所以,故应填.考点：二项式定理与赋值法的综合运用三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17.如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各4名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列。【答案】(1)平均数，方差 ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）当X
16、8时，利用茎叶图能求出乙组同学植树棵数的平均数和方差（2）当X9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21，分别求出相应的概率，由此能求出这两名同学的植树总棵数Y的分布列【详解】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，所以平均数为；方差为。（2）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17
17、，18，19，20，21。事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=。同理可得P（Y=18）=；P（Y=19）=；P（Y=20）=；P（Y=21）=。所以随机变量Y的分布列为Y1718192021P【点睛】本题考查平均数、方差的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要注意茎叶图的合理运用18.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查，瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力。某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果。例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人。视觉听
18、觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉记忆能力偏低0751中等183b偏高2a01超常0211由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为。（1）试确定a，b的值；（2）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为X，求随机变量X的分布列。【答案】（1）a=6，b=2；（2）见解析【解析】【分析】（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，事件A的概率即为，由此建立方程即可求
19、出a，b；（2）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率列出分布列.【详解】（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人。记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，则P（A）=，解得a=6，从而b=40（32+a）=4038=2。（2）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，所以从4
20、0位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P（X=k）=（k=0，1，2，3）。X的可能取值为0，1，2，3。因为P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为X0123P【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求法，考查完善统计表，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD=90，EB平面ABCD，EFAB，AB=2，EB=，EF=1，BC=，且M是BD的中点。（1）求证：EM平面ADF；（2）求二面角DAFB的余弦值；（3）在线段ED上是否存在一点P，使得B
21、P平面ADF?若存在，求出EP的长度；若不存在，请说明理由。【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）取AD的中点N，连接MN、NF由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EMFN，结合线面平行的判定定理，证出EM平面ADF；（2）建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，求出平面ADF、平面EBAF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角DAFB的大小；（3）假设在线段ED上存在一点P，使得BP与平面ADF平行，利用向量法即可得到结果.【详解】（1）取AD的中点N，连接MN，NF。在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以MNAB
22、，MN=AB，又因为EFAB，EF=AB，所以MNEF且MN=EF，所以四边形MNFE为平行四边形，所以EMFN，又因为FN平面ADF，EM平面ADF，故EM平面ADF。解法二：因为EB平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz。由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），C（3，2，0），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0）。（1）=（，0，），=（3，2，0），=（0，1，）。设平面ADF的一个法向量是由得令，则=（2，3，）。又因为=（，0，）（2，3，）=3+03=0，所以，又EM平面ADF，所以EM平面ADF。（2）由（1）
23、可知平面ADF的一个法向量是=（2，3，）因为EB平面ABD，所以EBBD，又因为ABBD，所以BD平面EBAF，故=（3，0，0）是平面EBAF的一个法向量，所以=，又二面角DAFB为锐角，故二面角DAFB的余弦值为。（3）假设在线段ED上存在一点P，使得BP与平面ADF平行。不妨设= =（3，0，）（01），则=（3，0，3）。所以n=6+0+33=0，由题意得=b0），直线：=与轴，轴的交点分别是椭圆W的焦点与顶点。（1）求椭圆W的方程；（2）设直线m：=kx（k0）与椭圆W交于P，Q两点，过点P（，）作PC轴，垂足为点C，直线交椭圆w于另一点R。求PCQ面积的最大值；求出QPR的大小。
24、【答案】（1）；（2），90.【解析】【分析】（1）由题意求出c，b，进而得到椭圆W的方程；（2）设P（，），则Q（，），C（，0），可知S，利用点在椭圆上及均值不等式即可得到PCQ面积的最大值；设P（，），则Q（，），C（，0），k=，直线QR的斜率，直线QR的方程：（）与椭圆方程联立可得（2+）22，求得R点坐标，进而得到即可得到结果.【详解】（1）直线：与轴，轴的交点分别（，0），（0，），可知c=，椭圆W的方程。（2）设P（，），则Q（，），C（，0），可知S，有已知可知，根据重要不等式得，S，当且仅当或时，面积取得最大值。设P（，），则Q（，），C（，0），k=。直线QR的斜率。可得直线QR的方程：（），设点R（，），联立消去得（2+）22，则，解得，所以，点R（，）。因为，所以，所以QPR=90。【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，三角形面积的最值及角的大小，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
