1、第二章DIERZHANG变化率与导数2导数的概念及其几何意义课后篇巩固提升A组1.若函数f(x)的图像过原点,且存在导数,limx0f(x)x=-1,则f(0)=()A.-2B.-1C.1D.2解析函数f(x)的图像过原点,f(0)=0.f(0)=limx0f(0+x)-f(0)x=limx0f(x)x=-1.答案B2.若f(x)在x=x0处存在导数,则limh0f(x0+h)-f(x0)h()A.与x0,h都有关B.仅与x0有关,而与h无关C.仅与h有关,而与x0无关D.以上答案都不对答案B3.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则曲线在点A处的切线斜率为()A.4B.16C.8
2、D.2解析f(2)=limx02(2+x)2-222x=limx08x+2(x)2x=limx0(8+2x)=8.答案C4.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为()A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0解析设与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线与之相切于点(x0,x02),则有f(x0)=2,即limx0(x0+x)2-x02x=limx0(2x0+x)=2x0=2,所以x0=1,x02=1,切点为(1,1).因此切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.答案D5.设函数f(x)在R上可导,且f(1)=2 021
3、,则limx0f(1+x)-f(1)2021x等于()A.1B.12021C.2 021D.0解析由导数定义可知,f(1)=limx0f(1+x)-f(1)x=2021,所以limx0f(1+x)-f(1)2021x=12021limx0f(1+x)-f(1)x=120212021=1.故选A.答案A6.已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1)处的切线方程为y=12x+2,则f(1)+f(1)=.解析f(1)=121+2=52,f(1)=12,f(1)+f(1)=52+12=3.答案37.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba的值是多少?解由导数定义知f(1)=li
4、mx0a(1+x)2+b-(a12+b)x=limx0(2a+ax)=2a,2a=2,即a=1.又3=a12+b,b=2.ba=2.8.已知曲线y=2x+1,则此曲线上哪一点处的切线与直线y=-2x+3垂直?写出该点处的切线方程.解设曲线y=f(x)=2x+1上的点P(x0,y0)处的切线与直线y=-2x+3垂直,则f(x0)=limx0yx=limx02x0+x+1-2x0-1x=limx02(x0+x-x0)x(x0+x+x0)=22x0=1x0,则1x0=12,x0=4,y0=24+1=5.切线方程为y-5=12(x-4),即x-2y+6=0.曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+
5、3垂直,切线方程为x-2y+6=0.9.已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=x3-2x2+3相切,求a的值以及切点坐标.解设直线l与曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切于点P(x0,y0),f(x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)x=limx0(x0+x)3-2(x0+x)2+3-(x03-2x02+3)x=3x02-4x0,由导数的几何意义知3x02-4x0=4,解得x0=-23或x0=2.切点的坐标为-23,4927或(2,3).当切点为-23,4927时,有4927=4-23+a,a=12127;当切点为(2,3)时,有3=42+a,a=-5.因此,a=12127,切点为
6、-23,4927或a=-5,切点为(2,3).B组1.在曲线y=x2上切线倾斜角为4的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.14,116D.12,14解析切线的倾斜角为4,切线的斜率为k=tan4=1,设切点为(x0,y0),则f(x0)=limx0(x0+x)2-x02x=limx02xx0+(x)2x=2x0,2x0=1,x0=12,y0=122=14.答案D2.已知f(x)在x=6处可导,且f(6)=8,f(6)=3,则limx6f(x)2-f(6)2x-6=.解析f(6)=3,limx6f(x)-f(6)x-6=3.limx6f(x)2-f(6)2x-6=limx6f(x)-f(6)
7、f(x)+f(6)x-6=f(6)+f(6)f(6)=(8+8)3=48.答案483.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为.解析设y=f(x),P(x0,y0)(x00),由题意知f(x0)=3x02-10=2,x02=4.x0=-2.y0=15.点P的坐标为(-2,15).答案(-2,15)4.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为.解析曲线y=x3在点(1,1)处的切线斜率为k=limx0(1+x)3-1x=limx0(x)2+3x+3=3,切线方程为y-1=3(
8、x-1),切线与x轴的交点为23,0,与x=2的交点为(2,4).围成的三角形的面积为S=12434=83.答案835.若函数f(x)在x=a处的导数为m,求limx0f(a+2x)-f(a-2x)x的值.解limx0f(a+x)-f(a)x=m,limx0f(a+2x)-f(a-2x)x=limx0f(a+2x)-f(a)+f(a)-f(a-2x)x=limx0f(a+2x)-f(a)x+limx0f(a)-f(a-2x)x=2limx0f(a+2x)-f(a)2x+2lim-2x0f(a-2x)-f(a)-2x=2m+2m=4m.6.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,
9、-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).解y=f(x+x)-f(x)=(x+x)3-3(x+x)-x3+3x=3x2x+3x(x)2+(x)3-3x.limx0yx=3x2-3.f(x)=3x2-3.过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率为k1=f(1)=0.所求直线方程为y=-2.(2)设切点坐标为(x0,x03-3x0),则直线l的斜率k2=f(x0)=3x02-3,直线l的方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0).又直线l过点P(1,-2),-2-(x03-3x0)=(3x02-3)(1-x0).2x03-3x02+1=0,即(2x03-2x02)-(x02-1)=0,即(x0-1)(2x02-x0-1)=0,解得x0=1(舍去)或x0=-12.故所求直线斜率k=3x02-3=-94,于是其方程为y-(-2)=-94(x-1),即y=-94x+14.
