1、第五章综合测评一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q=()A.B.C.D.答案C解析由题意知an=an+1+an+2=anq+anq2,即q2+q-1=0,解得q=(负值舍去),故选C.2.等比数列an中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于()A.8B.-8C.8D.以上选项都不对答案A解析a2+a6=34,a2a6=64,=64,且a20,a60,a4=a2q20(q为公比),a4=8.3.(2020全国,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天
2、的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案C解析由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为an为等差数列,所
3、以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+9=3 402.故选C.4.(2021新疆高三三模)等差数列an中,a3=16,a7=8,Sn是数列an的前n项和,则使得数列的前n项和最大的n的值为()A.20B.21C.20或21D.21或22答案C解析设等差数列an的公差为d,因为a3=16,a7=8,可得d=-2,则a1=a3-2d=20,所以an=20+(n-1)(-2)=22-2n,所以Sn=n(21-n),所以=21-n,可得当n0;当n=21时,=0;当n21时,0.所以当n=2
4、0或n=21时,数列的前n项和取得最大值.故选C.5.已知数列an满足a1=1,an+1=an+2n,则a10=()A.1 024B.2 048C.1 023D.2 047答案C解析因为an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,因此a10=a10-a9+a9-a8+a2-a1+a1=29+28+2+1=1 023,选C.6.设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,S3=,且S1,S2,S4成等比数列,则a10=()A.15B.19C.21D.30答案B解析由S3=,得3a2=,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列可得=S1S4,又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=
5、4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化简得3d2=2a2d,又d0,a2=3,d=2,a1=1,an=1+2(n-1)=2n-1,a10=19.7.(2020北京)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案B解析由题意可知,等差数列的公差d=2,则其通项公式为an=a1+(n-1)d=-9+(n-1)2=2n-11,注意到a1a2a3a4a50a6=1a7,且由T50可知Ti1(i7,iN)可知数列Tn不存在最小项,由于a1
6、=-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-1,a6=1,故数列Tn中的正项只有有限项:T2=63,T4=6315=945.故数列Tn中存在最大项,且最大项为T4.故选B.8.(2021陕西汉中高三二模)已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 021=()A.2 021-B.32 021-6C.-22 021-1D.22 021-1答案C解析当n=1时,3S1=3a1=2a1-3,解得a1=-3;当n2时,由3Sn=2an-3n可得3Sn-1=2an-1-3(n-1),上述两式作差得3an=2an-2an-1-3,所以an=-2an-1-3,所以an+1=-2(a
7、n-1+1),所以=-2,所以数列an+1是以a1+1=-2为首项,以-2为公比的等比数列,所以a2 021+1=-2(-2)2 020=-22 021,因此a2 021=-22 021-1.故选C.二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.(2021广东潮州高三二模)已知数列an满足an=nkn(nN+,0k1),下列说法正确的有()A.当k=时,数列an为递减数列B.当k=时,数列an一定有最大项C.当0k时,数列an为递减数列D.当为正整数时,数列an必有两项相等的最大项答案BCD解析
8、当k=时,a1=a2=,A错误;当k=时,若n1,若n4,1,所以可判断an一定有最大项,B正确;当0km,即nm+1时,数列an为递减数列,当n0时,a10+a220D.当d|a22|答案BC解析因为S10=S20,所以10a1+d=20a1+d,解得a1=-d.对选项A,因为无法确定a1和d的正负,所以无法确定Sn是否有最大值,故A错误;对选项B,S30=30a1+d=30-d+1529d=0,故B正确.对选项C,a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2-d+15d=d0,故C正确.对选项D,a10=a1+9d=-d+d=-d,a22=a1+21d=-d+d=d,因为d0,所以|a
9、10|=-d,|a22|=-d,|a10|1,0q1,0q1,故数列为递减数列,总存在从某一项开始使得ak=a1qk-1(0,1),故Tk-1=a1a2ak-1有最大值,故D正确.故选ABD.12.(2020山东实验中学高三月考)记数列an的前n项和为Sn,若存在实数H,使得对任意的nN+都有|Sn|H,则称数列an为“和有界数列”.下列说法正确的是()A.若an是等差数列,且公差d=0,则an是“和有界数列”B.若an是等差数列,且an是“和有界数列”,则公差d=0C.若an是等比数列,且公比|q|1,则an是“和有界数列”D.若an是等比数列,且an是“和有界数列”,则an的公比|q|1答
10、案BC解析若an是等差数列,则Sn=na1+n2+a1-n.对于A选项,当d=0时,Sn=na1,若a10,根据一次函数的性质可知,此时不存在符合题意的H.所以A选项错误.对于B选项,an是“和有界数列”,而Sn=n2+a1-n,若d0,根据二次函数的性质可知,此时不存在符合题意的H,故d=0.所以B选项正确.若an是等比数列,则Sn=-qn+.对于C选项,若|q|1,则|Sn|=qn+qn2,则an是“和有界数列”.所以C选项正确.对于D选项,若an是等比数列,且an是“和有界数列”,q的取值可能为-1,此时|Sn|a1|,所以存在实数H,使得对任意的nN+,都有|Sn|H.所以D选项错误.
11、故选BC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2020浙江宁波高二月考)已知an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=.答案-1解析由题意,可得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),故有3a1+2d=0,又因为2a1+a2=1,即3a1+d=1,所以d=-1,a1=.14.(2020吉林长春高三模拟)数列an满足a1=3,且对于任意的nN+,都有an+1-an=n+2,则a39=.答案820解析因为an+1-an=n+2,所以a2-a1=3,a3-a2=4,a4-a3=5,an-an-1=n+1(n2),上面n-1
12、个式子左右两边分别相加,得an-a1=,即an=,所以a39=820.15.(2020全国,文16)数列an满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=.答案7解析当n为偶数时,有an+2+an=3n-1,则(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92,因为前16项和为540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.当n为奇数时,有an+2-an=3n-1,由累加法得an+2-a1=3(1+3+5+n)-n2+n+,所以an+2=n2+n+a1,所以a1+12+1+a1+32+3+a1+52
13、+5+a1+72+7+a1+92+9+a1+112+11+a1+132+13+a1=448,解得a1=7.16.(2020江苏,11)设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列.已知数列an+bn的前n项和Sn=n2-n+2n-1(nN+),则d+q的值是.答案4解析本题考查等差数列、等比数列的前n项和.由等差数列的前n项和公式和等比数列的前n项和公式得Sn=na1+d+=n2+n+qn+.对照已知条件Sn=n2-n+2n-1,得d=2,q=2,所以d+q=4.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在an=6n-13,an=n,数
14、列an的前n项和为Sn=这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的m存在,求m的值;若m不存在,说明理由.设数列an的前n项和为Sn,若,且.所以满足条件的m的最小正整数m=1.若选an=n,存在.,an为等比数列,则Sn=1-n=;所以=1+2,即m2.所以满足条件的m的最小正整数m=3.若选数列an的前n项和为Sn=,存在.令bn=,所以1,所以数列是递减数列,即,即m.所以满足条件的m的最小正整数m=1.18.(12分)(2020全国,理17)设数列an满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn.
15、解(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3an-(2n+1),an-(2n+1)=3an-1-(2n-1),a2-5=3(a1-3).因为a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=32+522+723+(2n+1)2n.从而2Sn=322+523+724+(2n+1)2n+1.-得-Sn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.19.(12分)已知函数f(x)=,数列an满足a1=1,并且an+1=f(an).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an,求数列
16、bn的前n项和Sn.解(1)由题意,得an+1=,=1+,即=1,数列是一个等差数列,公差为1,首项为=1,从而=n,an=.(2)由(1),得bn=an=2,Sn=b1+b2+bn=21-+=.20.(12分)已知数列an的通项公式为an=3n-1,在等差数列bn中,bn0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列anbn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)an=3n-1,a1=1,a2=3,a3=9.在等差数列bn中,b1+b2+b3=15,3b2=15,则b2=5.设等差数列bn的公差为d,又a1+b1,a2+b2,a3+
17、b3成等比数列,(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.bn0,d=-10应舍去,d=2,b1=3,bn=2n+1.故anbn=(2n+1)3n-1.(2)由(1),知Tn=31+53+732+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-,得-2Tn=31+23+232+233+23n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+3n-1)-(2n+1)3n=3+2-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n3n.Tn=n3n.21.(12分)(2020上海杨浦高三模拟)某地出现了虫害,农业科学
18、家引入了“虫害指数”数列In,In表示第n周的虫害的严重程度,虫害指数越大,严重程度越高,为了治理虫害,需要环境整治、杀灭害虫.由于人力资源有限,每周只能采取以下两个策略之一:策略A:环境整治,“虫害指数”数列满足In+1=1.02In-0.20;策略B:杀灭害虫,“虫害指数”数列满足In+1=1.08In-0.46.当某周“虫害指数”小于1时,危机解除.(1)设第一周的虫害指数I11,8,用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小?(2)设第一周的虫害指数I1=3,如果每周都采用最优的策略,虫害的危机最快在第几周解除?解(1)由题意可知,使用策略A时,I2=1.02I1-0.20;使用策略B时
19、,I2=1.08I1-0.46.令1.02I1-0.20-(1.08I1-0.46)0,解得I1,即当I11,时,使用策略B第二周严重程度更小;当I1=时,使用两种策略第二周严重程度一样;当I1,8时,使用策略A第二周严重程度更小.(2)由(1)可知,最优策略为策略B,即In+1=1.08In-0.46,In+1-=1.08In-,所以数列In-是以-为首项,1.08为公比的等比数列,所以In-=-1.08n-1,即In=-1.08n-1+,令In0,且b1+b2=6b3,求q的值及数列an的通项公式;(2)若bn为等差数列,公差d0,证明:c1+c2+cn0,得bn+10,因此c1+c2+c3+cn1+,nN+.
