1、第2课时正弦定理和余弦定理的应用考点一正、余弦定理的实际应用【例1】(1)如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60方向上，则C与D的距离为() A20海里 B8海里C23海里 D24海里(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】(1)在ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75方向上，距离为12海里，游轮由A处向正北
2、方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60方向上，所以B180756045，由正弦定理，可得AD24(海里)在ACD中，AD24(海里)，AC8(海里)，CAD30，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos30242(8)22248192.所以CD8(海里)(2)由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m)在RtBCD中，CDBCtan30300100(m)【答案】(1)B(2)100方法技巧求距离、高度问题应注意的问题(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念；(2)选定或确
3、定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.1如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法是先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，则A，B两点的距离为200m.解析：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos60280 000.AB200(m)即A，B两点间的距离为2
4、00 m.2为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得BDC60，BCD75，CD40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30，且CE1 m，则发射塔高AB201m.解析：如图，过点E作EFAB，垂足为F，则EFBC，BFCE1，AEF30，CBD45.在BCD中，由正弦定理得，BC20.所以EF20，在RtAFE中，AFEFtanAEF2020，所以ABAFBF(201)(m)考点二平面图形中的计算问题【例2】如图所示，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求s
5、inCAD.【解】(1)在ABC中，由余弦定理得：AC2AB2BC22ABBCcosABC，即51BC2BC，解得BC(负值舍去)，所以ABC的面积SABCABBCsinABC1.(2)设CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA，由正弦定理得，即，两式相除，得，即4sin，整理得sin2cos.又sin2cos21，故sin，即sinCAD.方法技巧平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，
6、然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.如图，四边形ABCD中，ACBC，AB4，ABC.(1)求ACB；(2)若ADC，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积解：(1)设BCa，则ACa，在ABC中由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC，得3a242a224a，a22a80，a2或a4(舍去)，AB2AC2BC2，ACB.(2)四边形ABCD的周长为10，AB4，BC2，ADCD4.又在ACD由余弦定理得AC2AD2DC22ADDCcosADC，即12AD2DC2ADDC(ADDC)2ADDC，ADDC4.
7、SADCADDCsin.S四边形ABCDSABCSADC23.考点三正、余弦定理与平面向量的结合【例3】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinCacosCccosA，B，c.(1)求角C；(2)若点E满足2，求BE的长【解】(1)解法1：由题设及正弦定理得2sinBsinCsinAcosCsinCcosA，又sinAcosCsinCcosAsin(AC)sin(B)sinB，所以2sinBsinCsinB.由于sinB0，所以sinC.又0C0，所以sinC.又0C，得90120，当C90时，显然成立，因此sinC1，即sinC的取值范围是.【素养解读】破解此类题的关键点
8、(1)定基本量，根据题意或几何图形得出三角形中的边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的变化范围(2)构建关系，将待求范围的变量，根据正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数关系式(3)求最值，利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求最值或范围1已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2Acos2B2cos2C，则cosC的最小值为(C)A. B.C. D解析：因为cos2Acos2B2cos2C，所以12sin2A12sin2B24sin2C，得a2b22c2，cosC，当且仅当ab时等号成立，故选C.2已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1,2acosCc2b，则角A，ABC的周长的取值范围是(1,3解析：由题意，2acosCc2b，利用正弦定理，得2sinAcosCsinC2sinB，(1)，将sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC代入(1)式得sinC2cosAsinC，又sinC0，故cosA，所以A.由正弦定理可得，ABC的周长lABC(sinBsinC)1，将CB代入化简得lABC12sin1，由0B及0B，可得B，所以B，所以sin1，所以ABC周长的取值范围是(1,3
