1、第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+)解析依题意有k-410-k0,解得7k0,n0),则16m=1,4n=1,解得m=116,n=14,故选D.答案D3.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-45,3,则此椭圆的标准方程是()A.y225+x2=1B.x225+y2=1C.x225+y2=1或y225+x2=1D.以上都不对解析设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),则925m+
2、16n=1,1625m+9n=1,解得m=1,n=125,椭圆的标准方程为y225+x2=1.故选A.答案A4.已知F1,F2分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点,倾斜角为60的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则AF2B的周长为()A.10B.12C.16D.20解析由椭圆x225+y29=1可得a=5,AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以AF2B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以AF2B的周长=4a=20.故选D.答案D5.(
3、多选题)椭圆x2m+y28=1的焦距为4,则m的值可以是()A.12B.10C.6D.4解析因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.故m=4或12.答案AD6.一个椭圆的焦点F1,F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为()A.x28+y26=1B.x216+y26=1C.x28+y24=1D.x216+y24=1解析|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,a=
4、2c.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a=2c,a2=b2+c2,4a2+3b2=1,解得a=22,c=2,b2=6.故椭圆的方程为x28+y26=1.答案A7.过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为.解析椭圆y225+x29=1的焦点为(0,4),设椭圆方程为y2a2+2b2=1(ab0),则有a2-b2=16,再代入点(3,-5),得5a2+3b2=1,由解得a2=20,b2=4.则所求椭圆方程为y220+x24=1.答案y220+x24=18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M
5、是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是.(填轨迹的名称)解析由题知|PF1|+|PF2|=2a,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(其中ab0).连接MO(图略),当P不在x轴上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a|F1O|),当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a|F1O|),所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆.答案椭圆9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)经过两点(2,-2),-1,142.解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由椭圆的定
6、义知2a=(4-0)2+(32+2)2+(4-0)2+(32-2)2=12,所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2=42.所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由题意得18a2+16b2=1,a2=b2+4,解得a2=36,b2=32.所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由已知条件得4a2+2b2=1,1a2+144b2=1,解得1a2=18,1b2=14.所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.同
7、理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).将两点(2,-2),-1,142代入,得4A+2B=1,A+144B=1,解得A=18,B=14,所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.关键能力提升练10.F1是椭圆x29+y25=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是()A.9-2B.6-2C.3+2D.6+2解析如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P,连接PF1,PF2.|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|=6-
8、|PF2|,|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|).根据三角形两边之差小于第三边,当点P位于P时,|PA|-|PF2|最小,其值为-|AF2|=-2,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-2.答案B11.若点F为椭圆x24+y23=1的左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),设y02=31-x024,OPFP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02=x02+x0+31-x024=14(x0+2)2+2,而x0(-2,2),所以当x0=2时,OPFP取得最大值
9、为6.答案C12.(2020辽宁凌源联合校高二上期中)已知ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为()A.x225+y29=1(y0)B.y225+x29=1(y0)C.x216+y29=1(y0)D.y216+x29=1(y0)解析依题意得|CA|+|CB|=108,点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a=5,c=4,从而b2=9.又A,B,C三点不共线,点C不在x轴上,点C的轨迹方程为x225+y29=1(y0).故选A.答案A13.如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,
10、满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()A.x236+y216=1B.x240+y215=1C.x249+y224=1D.x245+y220=1解析由题意可得c=5,设右焦点为F,连接PF,由|OP|=|OF|=|OF|知,PFF=FPO,OFP=OPF,PFF+OFP=FPO+OPF,FPO+OPF=90,即PFPF,在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=|FF|2-|PF|2=102-62=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,椭圆C的方程为x249+y224=1.答案C14.已知椭圆
11、E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1解析设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2).AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2.而y1-y2x1-x2=kAB=
12、0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.故选D.答案D15.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a0),则下列说法正确的是()A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆答案AC16.(多选题)已知F1,F2为椭圆x24+y23=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下面四个结论正确的是()A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1
13、|MF2|的最大值为4C.F1MF2最大为60D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为l上满足|PA|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为x22+2y23=1或x26+2y29=1解析由椭圆方程得a2=4,b2=3,c2=1,因此F1(-1,0),F2(1,0).对于A,|MF2|max=a+c=3,故A错误;对于B,|MF1|MF2|MF1|+|MF2|22=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时,等号成立,故B正确;对于C,当点M为短轴的端点时,F1MF2最大,取M(0,3),则tanF1MF22=33,F1MF22=30,F1MF2最大为60,故C正确;对于D,设P(x,y),A
14、(x1,y),B(-x1,y),|PA|PB|=2,|x-x1|x+x1|=2,|x2-x12|=2,即x2=x12+2或x2=x12-2,又由题意知x124+y23=1,x2-24+y23=1或x2+24+y23=1,化简得x26+2y29=1或x22+2y23=1,故D正确.故选BCD.答案BCD17.已知椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,F1PF2的大小为.解析由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.在PF1F2中,cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=-12.故
15、F1PF2=120.答案212018.(2020山东烟台检测)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2.若PF1F2的面积为9,则b=.解析由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,12|PF1|PF2|=9,(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1|PF2|=4a2,36=4(a2-c2)=4b2,b=3.答案319.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,92.(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;(2)若轨迹E上的两点P,Q满
16、足AP=5AQ,求|PQ|的值.解(1)如图,设动圆C的半径为R.由题意得,定圆C1的半径为42,定圆C2的半径为22,则|CC1|=42-R,|CC2|=22+R,+,得|CC1|+|CC2|=626=|C1C2|.由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为62的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为x218+y29=1(x2).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则AP=x1,y1-92,AQ=x2,y2-92.由AP=5AQ可得,x1,y1-92=5x2,y2-92,所以x1=5x2,y1=5y2-925+92=5y2-18,由P,Q是轨迹E上的两点,得x2218+y229=1(x22),25x2218+(5y2-18)29=1(x212.B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且2012=|BC|,G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为x2100+y264=1(x10).设G(x,y),A(x,y),则有x2100+y264=1.由重心坐标公式知x=x3,y=y3,故A点轨迹方程为(x3)2100+(y3)264=1,即x2900+y2576=1(x30).
