1、模块复习课第1课时计数原理课后篇巩固探究基础巩固1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种解析5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32(种),故选D.答案D2.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有()A.8种B.10种C.12种D.32种解析根据题意,要求从A地到B地路程最短,必须只向下或向右行走即可.分别可得,需要向下走2次,向右走3次,共5次,从5次中选3次向右,剩下2次向下即可,则有C53=10(种)不同走法.答案B3.4名男歌
2、手和2名女歌手联合举行一场音乐会,出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,则出场方案的种数是()A.6A33B.3A33C.2A33D.A22A41A44解析先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间,并把他们捆绑在一起,看做一个元素和另外的3名男歌手进行全排列,故有A22A41A44种不同的出场方案.答案D4.已知x-ax8的展开式中常数项为1 120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是()A.28B.38C.1或38D.1或28解析由题意知C84(-a)4=1120,解得a=2.令x=1,得展开式中各项系数的和为1或38.答案C5.化简Cm9-Cm+19+Cm8=.解析原式=Cm9
3、+Cm8-Cm+19=Cm+19-Cm+19=0.答案06.设二项式3x+1xn的展开式的第5项是常数项,则这个展开式中第项系数最大.解析Tr+1=Cnrxn-4r3,由T5=T4+1=Cn4xn-443为常数项,得n-16=0,解得n=16.故第9项系数最大.答案97.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和夜班,有多少种不同的选法?解从3名工人中选出2名分别上日班和夜班,可分两个步骤完成.第1步,从3人中选1人上日班,有3种不同的选法;第2步,从剩下的2人中选1人上夜班,有2种不同的选法.根据分步乘法计数原理,可知不同的选法种数为N=32=6.8.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的
4、二项式系数的和等于121,求展开式中二项式系数最大的项.解由题意知,Cnn+Cnn-1+Cnn-2=121,即Cn0+Cn1+Cn2=121,1+n+n(n-1)2=121,即n2+n-240=0,解得n=15或-16(舍).在(1+3x)15的展开式中,二项式系数最大的项是第8,9两项,T8=C157(3x)7=C15737x7,T9=C158(3x)8=C15838x8.9.现有5名教师要带3个不同的兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多2人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,求不同的带队方案有多少种?解第一类,把甲、乙看做一个复合元素,和另外的3人分配到3个小组中,有C3
5、2A33=18(种),第二类,先把另外的3人分配到3个小组,再把甲、乙分配到其中2个小组,有A33A32=36(种),根据分类加法计数原理可得,共有18+36=54(种).能力提升1.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.120解析分三步,先插一个新节目,有7种方法,再插第二个新节目,有8种方法,最后插第三个新节目,有9种方法.故共有789=504种不同的插法.答案A2.航天员在进行一项太空实验时,先后要实施6个程序,其中程序B和C都与程序D不相邻,则实验顺序的编排方法共有(
6、)A.216种B.180种C.288种D.144种解析当B,C相邻,且与D不相邻时,有A33A42A22=144(种)方法;当B,C不相邻,且都与D不相邻时,有A33A43=144(种)方法.故共有288种编排方法.答案C3.某校高二年级共有6个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的2个班级中且每班安排2名,则不同的安排方法种数为()A.A62C42B.12A62C42C.A62A42D.2A62解析将4人平均分成两组有12C42种方法,将这两组分配到6个班级中的2个班有A62种方法.所以不同的安排方法有12C42A62种.答案B4.若1x-xxn的展开式中含有x2项,则n的最小值是()
7、A.15B.8C.7D.3解析二项式1x-xxn的展开式的通项Tr+1=Cnr1xn-r(-xx)r=Cnr(-1)rx52r-n.令52r-n=2,得r=2(n+2)5有正整数解;又2与5互质,因此n+2必是5的倍数,即n+2=5k(kN*),n=5k-2(kN*),n的最小值是3.答案D5.某运动队有5对老搭档运动员,现抽派4名运动员参加比赛,则这4人都不是老搭档的抽派方法数为.解析先抽派4对老搭档运动员,再从每对老搭档运动员中各抽派1人,故有C54C21C21C21C21=80(种)抽派方法.答案806.高三(三)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,
8、要求2个舞蹈节目不连排,3个音乐节目恰有2个节目连排,则不同排法的种数是.解析先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目,有A32种排法,这样共有5个节目,其中2个音乐节目不连排,2个舞蹈节目不连排.如图,若曲艺节目排在5号(或1号)位置,则有4A22A22=16(种)排法;若曲艺节目排在2号(或4号)位置,则有4A22A22=16(种)排法;若曲艺节目排在3号位置,则有22A22A22=16(种)排法.故共有不同排法A32(163)=288(种).12345答案2887.32+133n展开式中的第7项与倒数第7项的系数比是16,则展开式中的第7项为.解析第7项为T7=Cn6(32)n-61
9、336,倒数第7项为Tn-5=Cnn-6(32)6133n-6,由Cn6(32)n-6(133)6Cnn-6(32)6(133)n-6=16,得n=9,故T7=C96(32)9-6(133)6=C93219=563.答案5638.已知在3x-33xn的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.解通项公式为Tk+1=Cnkxn-k3(-3)kx-k3=Cnk(-3)kxn-2k3.(1)第6项为常数项,当k=5时,n-2k3=0,解得n=10.(2)令10-2k3=2,得k=12(10-6)=2,所求的系数为C102(-3)2=405.(3)由
10、题意得10-2k3Z,0k10,kN,令10-2k3=r(rZ),得10-2k=3r,即k=5-32r.kN,且0k10,r可取2,0,-2,k可取2,5,8.第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为C102(-3)2x2,C105(-3)5,C108(-3)8x-2.9.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解(1)先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数
11、为C63C42=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61C44+C62C43+C63C42+C64C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105-C65=246.(3)分两类:一是选1名主任有C21C84种方法;二是选2名主任有C22C83种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C21C84+C22C83=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为C105-C85=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有C94种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内
12、科医生,有C84-C54种选法.故有选派方法的种数为C94+C84-C54=191.10.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个不同的四位数?(2)可组成多少个四位偶数?(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第85项是什么?解(1)用间接法,从6个数中,任取4个组成4位数,有A64种情况,但其中包含0在首位的有A53种情况,依题意可得,有A64-A53=300(个).(2)根据题意,分0在末尾与不在末尾两种情况讨论,0在末尾时,有A53种情况,0不在末尾时,有A21A42A41种情况,由分类加法计数原理,共有A53+A21A42A41=156(个).(3)千位是1的四位数有A53=60(个),千位是2,百位是0或1的四位数有2A42=24(个),第85项是2301.
