1、2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值课后篇巩固探究基础巩固1.若随机变量X的分布列为X146P0.550.30.15则其数学期望E(X)等于()A.1B.13C.4.5D.2.65解析E(X)=10.55+40.3+60.15=2.65.答案D2.已知篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.若某运动员罚球的命中率是0.7,则他罚球6次的总得分X的均值是()A.0.70B.6C.4.2D.0.42解析总得分XB(6,0.7),E(X)=60.7=4.2.答案C3.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于()X024P0.30.20.5A.16B.11
2、C.2.2D.2.3解析由题中表格可求E(X)=00.3+20.2+40.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=52.4+4=16.故选A.答案A4.现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的均值是()A.6B.7.8C.9D.12解析设此人的得奖金额为X,则X的所有可能取值为12,9,6.P(X=12)=C81C22C103=115,P(X=9)=C82C21C103=715,P(X=6)=C83C103=715,故E(X)=7.8.答案B5.已知Bn,12,Bn,13,且E()=15,则E()等于()A.5B.10C.15D.20解析因为Bn,1
3、2,所以E()=n2.又E()=15,则n=30.所以B30,13.故E()=3013=10.答案B6.一个高考考生咨询中心有A,B,C三条咨询热线,已知某一时刻热线A,B占线的概率均为0.5,热线C占线的概率为0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有X条占线,则E(X)=.解析随机变量X可能的取值为0,1,2,3,依题意知P(X=0)=0.15,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.35,P(X=3)=0.1.故E(X)=00.15+10.4+20.35+30.1=1.4.答案1.47.某射手射击所得环数的分布列如下:78910Px0.10.3y已知的期望E()=8.9,则y的
4、值为.解析由x+0.1+0.3+y=1,7x+80.1+90.3+10y=8.9,解得y=0.4.答案0.48.某次考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为.解析设小王选对的个数为X,得分为Y=5X,则XB(12,0.8),E(X)=np=120.8=9.6,E(Y)=E(5X)=5E(X)=59.6=48.答案489.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止.求:(1)抽取次数X的分布列;(2)抽取次数X的均值.解(1)由题意知,X的可能取值为1,2,
5、3.P(X=1)=35,P(X=2)=2534=310,P(X=3)=2514=110.所以X的分布列为X123P35310110(2)E(X)=135+2310+3110=1.5.10.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚,为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:处罚金额x(单位:元)05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.求这两种金额之和不低于20元的概
6、率;若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和数学期望.解(1)由条件可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是40200-10200=320.(2)设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有C52=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=610=35.根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为X5101520253035P110110151515110110故E(X)=5110+10110+1515+2015+2515+30110+35110=20.能力提升1.体育课的
7、排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)1.75,则p的取值范围是()A.0,712B.0,12C.712,1D.12,1解析根据题意,X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)1.75,则p2-3p+31.75,解得p52或p12,结合p的实际意义,可得0p12,即p0,12.答案B2.口袋中有编号分别为1,2,3的三
8、个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为()A.13B.23C.2D.83解析因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3,所以P(X=2)=1C32=13,P(X=3)=C21C11C32=23,所以E(X)=213+323=83.答案D3.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率k等可能地取-22,-3,-52,0,52,3,22,用表示坐标原点到l的距离,则随机变量的数学期望E()=.解析当l的斜率k为22时,直线l的方程为22x-y+1=0,此时坐标原点到l的距离=13;当k为3时,=
9、12;当k为52时,=23;当k为0时,=1.由古典概型的概率公式可得分布列如下:1312231P27272717故E()=1327+1227+2327+117=47.答案474.已知箱中装有除颜色外其他都相同的4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出的3个球所得分数之和,则X的均值E(X)=.解析X=3,4,5,6,P(X=3)=C53C93=542,P(X=4)=C52C41C93=1021,P(X=5)=C51C42C93=514,P(X=6)=C43C93=121,所以X的分布列为X34
10、56P5421021514121X的均值E(X)=15+80+75+1242=133.答案1335.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).又X的均值E(X)=3,则a+b=.解析P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,E(X)=1(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)=3,14a+6b=3.又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,6a+3b=1.由可知a=12,b=-23.a+b=-16.答案-166.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校
11、所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C43C63C63=1100.因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31C33C64=15,P(X=2)=C32C32C64=35
12、,P(X=3)=C33C31C64=15.所以X的分布列为X123P153515因此,X的数学期望为E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=115+235+315=2.7.小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放1个.(1)若小王发放5元的红包2个,求甲恰得1个的概率;(2)若小王发放3个红包,其中5元的2个,10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X,求X的分布列和期望.解(1)设“甲恰得1个红包”为事件A,则P(A)=C211323=49.(2)X的所有可能取值为0,5,10,15,20.P(X=0)=233=827,P(X=5)=C2113232
13、=827,P(X=10)=13223+23213=29,P(X=15)=C2113223=427,P(X=20)=133=127.X的分布列为X05101520P82782729427127故E(X)=0827+5827+1029+15427+20127=203.8.(选做题)某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4 km时租车费为10元,若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定
14、,每停车5分钟按1 km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量.设他所收租车费为.(1)求租车费关于行车路程的关系式;(2)若随机变量的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费的数学期望;(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解(1)依题意得,=2(-4)+10,即=2+2.(2)E()=150.1+160.5+170.3+180.1=16.4.=2+2,E()=2E()+2=34.8(元).故所收租车费的数学期望为34.8元.(3)由38=2+2,得=18,5(18-15)=15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.
