1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第3课时利用向量求空间角课后篇巩固提升基础巩固1.若平面的一个法向量为n1=(1,0,1),平面的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面与所成的角等于()A.30B.45C.60D.90解析因为n1n2=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以,即平面与所成的角等于90.答案D2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266B.-52266C.52222D.-52222解析AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cos
2、AB,CD=ABCD|AB|CD|=5322=52266,故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.答案A3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90解析取AB的中点D,连接CD,分别以AD,CD,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),根据mAB1=0,mAC1=0,解得m=(3,-
3、3,2),cos=mAA1|m|AA1|=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30,故选A.答案A4.已知二面角-l-的大小为60,b和c是两条异面直线,且b,c,则直线b与c所成的角的大小为()A.120B.90C.60D.30解析设直线b,c的方向向量分别为b,c,因为b,c,所以b,c分别是平面,的法向量,由二面角-l-的大小为60,可知b,c的夹角为60或120.因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以直线b与c所成的角为60.故选C.答案C5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值
4、为()A.16B.14C.-16D.-14解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),MN=(-1,1,2),OD1=(-1,-2,1).则cos=MNOD1|MN|OD1|=166=16.异面直线MN与OD1所成角的余弦值为16,故选A.答案A6.若两个平面,的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是.解析设这两个平面所成的锐二面角为,则|cos|=|uv|u|v|=|-1|22=12,所以锐二面角的度
5、数是60.答案607.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为.解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,-1,-2),DA1=(2,0,4),DE=(0,1,2),设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则nDA1=2x+4z=0,nDE=y+2z=0,取z=1,得n=(-2,-
6、2,1),设直线AE与平面A1ED所成角为,则sin=|cos|=|EAn|EA|n|=499=49.直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为49.答案498.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为.解析建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则nA1D=0,nA1E=0.则2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABC
7、D的法向量为m=(0,0,1),则cos=nm|n|m|=23.答案239.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,ABC=BAD=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),AB平面SAD,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为,则sin=|cos|=|SCAB|SC|AB|=33,故cos=63,即SC与平面ASD所成角的余弦值为63.(2)平面
8、SAB的一个法向量为m=(1,0,0),SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SCn=0,SDn=0x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),显然,平面SAB和平面SCD所成角为锐角,不妨设为,则cos=mn|m|n|=63,即平面SAB和平面SCD所成角的余弦值为63.10.(选做题)如图,在四棱锥P-ABCD中,BCCD,AD=CD,PA=32,ABC和PBC均为边长为23的等边三角形.(1)求证:平面PBC平面ABCD;(2)求二面角C-PB-D的余弦值.解(1)取BC的中点O,连接O
9、P,OA,因为ABC,PBC均为边长为23的等边三角形,所以AOBC,OPBC,且OA=OP=3.因为AP=32,所以OP2+OA2=AP2,所以OPOA,又因为OABC=O,OA平面ABCD,BC平面ABCD,所以OP平面ABCD.又因为OP平面PBC,所以平面PBC平面ABCD.(2)因为BCCD,ABC为等边三角形,所以ACD=6,又因为AD=CD,所以CAD=6,ADC=23,在ADC中,由正弦定理,得:ACsinADC=CDsinCAD,所以CD=2.以O为坐标原点,以OA,OB,OP为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,3),B(0,3,0),D(2,-
10、3,0),BP=(0,-3,3),BD=(2,-23,0),设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),则nBP=0,nBD=0,即-3y+3z=0,2x-23y=0,令z=1,则平面PBD的一个法向量为n=(3,3,1),依题意,平面PBC的一个法向量m=(1,0,0),所以cos=mn|m|n|=31313.故二面角C-PB-D的余弦值为31313.能力提升1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin的值为()A.12B.21015C.23D.115解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,
11、0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M1,12,0,DB1=(1,1,1),CM=1,-12,0,cos=DB1CM|DB1|CM|=1-1231+14=1515,sin=1415=21015.答案B2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为()A.55B.306C.66D.255解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(2,1,0),F(1,0,2),EF=(-1,-1,2),取平面AA1D1D的法向
12、量为n=(0,1,0),设直线EF与平面AA1D1D所成角为,则sin=|cos|=|EFn|EF|n|=66,直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为66.故选C.答案C3.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为()A.150B.45C.60D.120解析由条件,知CAAB=0,ABBD=0,CD=CA+AB+BD.则|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CAAB+2ABBD+2CABD=62+42+82+268cos=(217)2,所以cos=-12,即=120
13、,二面角的大小为60.答案C4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CD上的一动点,则下列结论不正确的是()A.D1E平面A1B1BAB.EB1AD1C.直线AE与B1D1所成角的范围为4,2D.二面角E-A1B1-A的大小为4解析对于选项A,因为平面CDD1C1平面A1B1BA,D1E平面CDD1C1,所以D1E平面A1B1BA,故选项A正确;如图建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E(0,m,0),0m1,B1(1,1,1),D1(0,0,1),A1(1,0,1).对于选项B,EB1=(1,1-m,1),AD1=(-1,0,1),因为EB1AD1=(1
14、,1-m,1)(-1,0,1)=0,所以EB1AD1,即EB1AD1,故选项B正确;对于选项C,AE=(-1,m,0),B1D1=(-1,-1,0),设直线AE与B1D1所成角为,则cos=|cos|=|1-m|1+m22,当m=0时,cos最大等于22,此时最小为4,当m=1时,cos最小等于0,此时最大为2,所以4,2,即直线AE与B1D1所成角的范围为4,2,故选项C不正确;对于选项D,二面角E-A1B1-A即二面角D-A1B1-A,因为A1D1平面AA1B1,AD1平面A1B1D,则平面AA1B1的一个法向量A1D1=(-1,0,0),平面A1B1D的一个法向量AD1=(-1,0,1)
15、,所以cos=A1D1AD1|A1D1|AD1|=22,又二面角E-A1B1-A为锐角,所以二面角E-A1B1-A的大小为4,故选项D正确.故选C.答案C5.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A32,12,0,AC1=-32,12,1,又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为.则sin=|cos|=|AC1n|AC1|n|=64,故cos=1-sin2=104.答案1046.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1
16、O1平面OAB,且O1OB=60,AOB=90,OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值.解以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,2,0),A1(3,1,3),O1(0,1,3),所以A1B=(-3,1,-3),O1A=(3,-1,-3).设所求的角为,则cos=|A1BO1A|A1B|O1A|=|-3-1+3|77=17,即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为17.7.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:ACSD;(2)若SD
17、平面PAC,求二面角P-AC-S的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC.若存在,求SCSE的值;若不存在,试说明理由.(1)证明连接BD交AC于O,由题意SOAC.在正方形ABCD中,ACBD,所以AC平面SBD,得ACSD.(2)解由题设知,连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系O-xyz如图.设底面边长为a,则高SO=62a.则S0,0,62a,D-22a,0,0,C0,22a,0.又SD平面PAC,则平面PAC的一个法向量DS=22a,0,62a,平面SAC的一个法向量OD=-22a,0,0,则cos=DSOD|DS|OD|=-12,又二面角P-AC-D为锐角,则二面角P-AC-D为60.(3)解在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.由(2)知DS是平面PAC的一个法向量,且DS=22a,0,62a,CS=0,-22a,62a.设CE=tCS,t0,1,则BE=BC+CE=BC+tCS=-22a,22a(1-t),62at.又BE平面PAC,所以BEDS=0,则t=13.即当SCSE=32时,BEDS,而BE不在平面PAC内,故BE平面PAC.
