1、第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课后篇巩固提升基础巩固1.若复数z=|4+3i|+a(1-2i)为纯虚数,则实数a=()A.-5B.0C.5D.-10解析由题可得z=a+5-2ai,又z为纯虚数,所以a=-5.故选A.答案A2.如图,在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是,则复数z=z1-2z2所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由图知,z1=1+2i,z2=1-i,所以z=1+2i-2(1-i)=-1+4i,所以z所对应的点Z(-1,4)在第二象限.故选B.答案B3.在平行四边形ABC
2、D中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i解析依题意有=(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D.答案D4.已知z1,z2C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=()A.0B.1C.D.2解析设z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,依题意得a2+b2=1,c2+d2=1,由|z1+z2|=得(a+c)2+(b+d)2=3,则a2+b2+c2+d2+2(ac+bd)=3,
3、故2(ac+bd)=1.所以|z1-z2|=1.故选B.答案B5.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图象是()A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线解析设z=x+yi(x,yR),|z+1|=|x+yi+1|=,|z-i|=|x+yi-i|=,.x+y=0.z的对应点Z的集合构成的图象是第二、四象限角平分线.答案B6.若复数z1=4-3i,z2=4+3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为,则OZ1Z2的周长为.解析因为=(4,-3),=(4,3),=(0,6),所以|=5,|=5,|=6.所以OZ1Z2的周长为5+5+6=16.答案167.设f(z)=则
4、f(f(2i)=.解析因为|2i|=23,所以f(f(2i)=f(2-5i)=2-5i+3-2i=5-7i.答案5-7i8.已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析设z=a+bi(a,bR),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,a=0,b+30,又|z|=3,b=3,z=3i.答案3i9.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,bR),且z1-z2=4,求复数z=a+bi.解z1-z2=+(a-b-1)i,所以=4,a-b-1=0,解得a=2,b=1,故z=2+i.10.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4
5、i.求:(1)向量对应的复数;(2)向量对应的复数;(3)向量对应的复数.解(1)因为=-,所以向量对应的复数为-3-2i.(2)因为,所以向量对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为,所以向量对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.能力提升1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则复数z1-z2=()A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i解析由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.答案B2.已知zC,且|z-2-2i|=1,i是虚数单位,则|z+2-2i|的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析|
6、z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2,2)的距离等于1的点的轨迹,即以点A(2,2)为圆心,以1为半径的圆C,|z+2-2i|的最小值,即圆C上的点到B(-2,2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.答案B3.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(aR),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(aR)为纯虚数,所以解得a=-1.答案-14.已知实数x,y满足条件z=x+yi(i为虚数单位),则|z-1+2i|的最大值与最小值之和为.解析作出不等式组对应的可行域,如图中
7、阴影部分所示.|z-1+2i|表示可行域中的点到点(1,-2)的距离.根据图象,得最小值为点(1,-2)到直线x+y=0的距离,最大值为点(1,-2)到点(3,8)的距离,即|z-1+2i|min=,|z-1+2i|max=2,故|z-1+2i|min+|z-1+2i|max=+2.答案+25.在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断ABC的形状.解(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,所以对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).于是=(1,1),=(-
8、2,2),=(-3,1).即对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.(2)因为|=,|=,|=,所以|2+|2=10=|2,又因为|,故ABC是以角A为直角的直角三角形.6.已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.解方法一:在复平面内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量,如图,则z1+z2对应向量,z1-z2对应向量.由题意|=1,|=1,|=,可得OZ1Z=120,Z2OZ1=60,在Z2OZ1中,|=1,即|z1-z2|=1.方法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).则由题意,知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.2(ac+bd)=1.|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1,|z1-z2|=1.
