1、第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课后篇巩固提升基础巩固1.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量,这里的解释变量应该是()A.作物的产量B.施肥量C.试验者D.降雨量或其他因素解析作物的产量为预报变量,施肥量为解释变量.答案B2.据统计,某产品的市场销售量y(单位:万台)与广告费用投入x(单位:万元)之间的对应数据的散点图如图所示,由图可知,y与x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是=0.3x+.预测广告费用投入为10万元时,估计该产品的市场销售量y约为()A.6.1万台B.5.5万台C.5.2万台D.6万台解析由题意知,=5,=4,将()代入=0.3x+,即4
2、=0.35+,解得=2.5,即=0.3x+2.5.将x=10代入得=0.310+2.5=5.5(万台).故选B.答案B3.已知y与x之间的线性回归方程为=1.6x+21,其样本点的中心为(,37),样本数据中x的输出取值依次为2,8,6,14,m,则m=()A.12B.16C.18D.20解析(2+8+6+14+m)=6+,样本点的中心为6+,37.回归直线过样本点的中心(),37=1.66+21,解得m=20.故选D.答案D4.如图所示的是四张残差图,其中回归模型的拟合效果最好的是()解析四张残差图中,只有选项A,B中的残差图是水平带状区域分布,且选项B中的残差点散点分布集中在更狭窄的范围内
3、,所以选项B中回归模型的拟合效果最好.答案B5.节能降耗是企业的生存之本,树立一种“点点滴滴降成本,分分秒秒增效益”的节能意识,以最好的管理来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造,下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润:年号12345年生产利润y/千万元0.70.811.11.4预测第8年该国企的生产利润约为()参考公式及数据:(xi-)(yi-)=1.7,-5=10A.1.88千万元B.2.21千万元C.1.85千万元D.2.34千万元解析由题意可得=3,=1,所以=0.17,=1-0.173=0.49,所以年生产利润与年号的回归方程为=0.17x+0.49,当x=
4、8时,=0.178+0.49=1.85,故选C.答案C6.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如表关系,y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5,当广告支出5万元时,随机误差的效应(残差)为()x/万元24568y/万元3040605070A.10万元B.20万元C.30万元D.40万元解析因为y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5,所以当x=5时,=6.55+17.5=50.由表格知,当广告支出5万元时,销售额为60万元,所以随机误差的效应(残差)为60-50=10(万元).故选A.答案A7.对于一组数据,现有A和B两个回归模型,计算得到它们的残差平方和分别是168和1
5、97,则拟合效果较好的是模型.解析残差平方和越小,相关指数越大,拟合效果越好.答案A8.已知方程=0.85x-82.71是根据大学生的身高预报其体重的回归方程,其中x的单位是 cm,的单位是 kg,那么针对某个体(160,53),其残差是.解析把x=160代入=0.85x-82.71,得=0.85160-82.71=53.29,所以残差=y-=53-53.29=-0.29.答案-0.299.已知某种商品的价格x(单位:元)与需求量y(单位:件)之间的关系有如下一组数据:x/元1416182022y/件1210753求y关于x的线性回归方程,并分析回归模型拟合效果的好坏.解因为(14+16+18
6、+20+22)=18,(12+10+7+5+3)=7.4,=142+162+182+202+222=1 660,xiyi=1412+1610+187+205+223=620.所以=-1.15,=7.4+1.1518=28.1,故所求线性回归方程为=-1.15x+28.1.列出下表:yi-00.3-0.4-0.10.2yi-4.62.6-0.4-2.4-4.4所以(yi-)2=0.3,(yi-)2=53.2,故相关指数R2=1-0.994.因为R2非常接近于1,所以回归模型的拟合效果很好.能力提升1.关于两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),下列说法
7、错误的是()A.由样本数据得到的回归直线一定过样本点的中心()B.落在线性回归方程上的样本点越多,线性回归方程拟合效果越好C.相关指数R2越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差D.若x表示大学生的身高,y表示体重,则R20.64表示大学生的身高解释了64%的体重变化解析对于A,由回归方程知,回归直线一定过样本点的中心(),故A正确;对于B,线性回归方程拟合效果的强弱是由相关指数R2判定,故B不正确;对于C,相关指数R2越小,残差平方和越大,效果越差,故C正确;对于D,根据R2的实际意义可得,R20.64表示大学生的身高解释了64%的体重变化,故D正确.故选B.答案B2.某商品的销售量y(单
8、位:件)与销售价格x(单位:元)存在线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为=-5x+150,则下列结论正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C.当销售价格为10元时,销售量为100件D.当销售价格为10元时,销售量为100件左右解析由回归方程=-5x+150可知,y与x具有负的线性相关关系,故A错误;回归直线是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.由样本点去寻找拟合效果最好的直线,不一定是经过样本数据点最多的那条直线,故B错误;当销售价格为10元时,销售量为-510+15
9、0=100件左右,故C错误,D正确.答案D3.若发现散点图中所有的样本点都在一条直线上,则残差平方和等于,解释变量和预报变量之间的相关指数等于.答案014.一家工厂对职工进行技能检查,收集数据如下:零件数x/个1020304050607080加工时间y/分钟1225354855616470则两个变量之间的线性回归方程为,该函数模型的残差平方和等于,相关指数等于.解析可求得=0.817,=9.5,所以回归方程为=0.817x+9.5,残差平方和为(yi-)2=126.3,相关指数为1-=0.957.答案=0.817x+9.5126.30.9575.某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时
10、,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案,该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点,得到各间大棚产量数据绘制成散点图.光照时长为x(单位:小时),大棚蔬菜产量为y(单位:千斤/亩),记w=ln x.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dln x,哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及下表中数据,建立y关于x的回归方程;(结果保留小数点后两位)(3)根据实际种植情况,发现上述回归方程在光照时长位于614小时内拟合程度良好,利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时(自然对数的底数e2.718 28),大棚蔬菜亩产约为多少.参考数据:xiyiwixiyiwiyi290102.4524 870540.281371 578.2272.1参考公式:关于的线性回归方程+中,.解(1)根据散点图可得y=c+dln x更适宜作为回归方程类型.(2)记w=ln x,则y=c+dln x为y=c+dw,=5.12,=2.6,d=3.26,c=5.12-3.262.6=-3.36,所以y=3.26w-3.36,即y=3.26 ln x-3.36.(3)x=e2时,y=3.26ln e2-3.36=3.16(千斤/亩).
