1、2.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于() A.6B.8C.9D.10解析由已知得左焦点(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.答案B2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=D.x2-y2=解析由题意,设双曲线方程为=1(a0),则c=a,一条渐近线为y=x,a2=2.双曲线方程为x2-y2=2.答案B3.已知双曲线C:x2-=1的一个焦点为(-2,0),则双曲线C的一条渐近线方程为()A.x+y
2、=0Bx+y=0C.x+y-=0Dx+y-=0解析由题意知,a=1,c=2, 又c2=a2+b2,解得b=所以双曲线C的一条渐近线方程为y=-x=-x,即x+y=0.故选B.答案B4.下列双曲线中,不是以2x3y=0为渐近线的是()A=1B=1C=1D=1解析C项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,不是2x3y=0.答案C5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且ab,则双曲线=1的离心率e为()ABCD解析因为两正数a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为ab,所以所以e=故选D.答案D6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的
3、渐近线方程是.解析双曲线x2-=1(b0)过点(3,4),32-=1,解得b2=2,即b=或b=-(舍去).a=1,且双曲线的焦点在x轴上,双曲线的渐近线方程为y=x.答案y=x7.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.解析由题意可得=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1.答案=18.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.解析由椭圆=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3设与双曲线-
4、y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=(0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8+=18,解得=2,所以所求双曲线的方程为=1.答案=19.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;(2)与双曲线=1有共同的渐近线,且过点(-3,2).解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a0,b0),则由题可得2b=8,e=,从而b=4,c=a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为=1.(2)设所求双曲线方程为=(0),将点(-3,2)代入得=,所以双曲线方程为,即=1.10.已知双曲线=1的右焦点
5、为(2,0).(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.解(1)双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为=1,c2=a2+b2=3+b2=4,b2=1,双曲线的方程为-y2=1.(2)a=,b=1,双曲线的渐近线方程为y=x.令x=-2,则y=,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=2=能力提升1.已知双曲线C:=1(a0,b0)右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若MAN=60,则C的离心率为()A.2BCD解析因为MAN
6、=60,而AM=AN=b,所以AMN是等边三角形,A到直线MN的距离为b,又A(a,0),渐近线方程取y=x,即bx-ay=0,所以b,化简得e=故选B.答案B2.若在双曲线=1(a0,b0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.eB.1e2D.1e0,b0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足a,即2,得e2,故选C.答案C3.已知ab0,若椭圆=1与双曲线=1的离心率之积为,则双曲线的渐近线方程为.解析由已知及椭圆、双曲线的几何性质,得,解得,所以双曲线的渐近线方程为y= x,即xy=0.答案x
7、y=04.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.解析设一条渐近线方程为y=kx,由-6=8k,得k=-,所以渐近线方程为y=x.若焦点在x轴上,则,于是离心率e=;若焦点在y轴上,则,于是离心率e=答案5.已知双曲线C与椭圆=1有相同的焦点,且它们的离心率之和为,求双曲线的标准方程、渐近线方程、实轴长和虚轴长.解由=1可知椭圆中=25,=9,所以c2=16,解得c=4,所以椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),离心率为e1=,不妨设双曲线方程为=1(a0,b0),则其离心率e=2,由c=4,可知a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12,b
8、=2,故所求双曲线的标准方程为=1,渐近线方程为y=x,y=x,实轴长为2a=4,虚轴长为2b=46.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:=1(a0,b0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.解(1)设椭圆C1的标准方程为=1(a1b10),根据题意得2a1=10,则a1=5.又e1=,c1=4,b1=3,椭圆C1的标准方程为=1.(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=,|MN|=以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,a+c=,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.又e1,e=2.又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,c=4,a2=4,b2=12,双曲线C2的标准方程为=1.
