1、2.1.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆=1(a)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆=1(a)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A.9B.1C.1或9D.以上都不对解析因为椭圆C的短轴长为6,所以b=3,又因为离心率为e=,a2=b2+c2,所以a=5,c=4,所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1,故选C.答案C3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-,0
2、),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()A+y2=1B.x2+=1C+y2=1D.x2+=1解析一个焦点为(-,0),焦点在x轴上且c=长轴长是短轴长的2倍,2a=22b,即a=2b,(2b)2-b2=3.b2=1,a2=4,故所求椭圆的标准方程为+y2=1.答案A4.已知椭圆+x2=1(a1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()AB.2CD.3解析由题意可得,解得a2=5,所以椭圆的标准方程为+x2=1.设椭圆上点的坐标为P(x,y),且-1x1,-y,则y2=5(1-x2),故|PB|=,当x=时满足条件,所以|PB|max=答案C
3、5.曲线=1与曲线=1(k9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析由于kb0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()ABCD解析由题意得|PF2|=|F1F2|,所以2=2c,所以3a=4c,所以e=答案C7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.解析由题意知,当椭圆上点在短轴端点时,三角形的面积取最大值,即有bc=2,a2=b2+c22bc=4(其中b0,c0),a2,当且仅当b=c=时取“=”.2a4,即椭圆长轴长的最小值为4.答案48.椭圆的一个焦点将长轴长分成32两部
4、分,则这个椭圆的离心率为.解析依题意有(a+c)(a-c)=32,所以a=5c,故离心率为e=答案9.(1)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,右焦点为(,0),求椭圆C的方程;(2)已知椭圆C:=1(ab0)经过1,一个焦点为(,0),求椭圆C的方程.解(1)由右焦点为(,0),则c=,又e=,所以a=,b2=a2-c2=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意得解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程是+y2=1.10.已知椭圆=1,试问在椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等?解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得
5、点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等.设M(x,y)(-2x2),则=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由=1,得y2=3,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,于是x=4.但由于-2x2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若点A(1,m)在椭圆C:=1的内部,则实数m的取值范围是()A.(-)B.-C.-,-,+D.-解析由题意知,0,k1,a0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则为常数.据此推断,此常数的值为()A.椭圆的离心率B.椭圆离心率的平方C.短轴长与长轴长的比D.短轴长与长轴
6、长比的平方解析设椭圆方程为=1(ab0),取P为椭圆的上顶点,则Q为原点.PQ=b,AQ=BQ=a,则故选D.答案D4.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为F(2,0),给出下列四个条件:短半轴长为2;长半轴长为2;离心率为;一个顶点坐标为(2,0).其中可求得椭圆方程为=1的条件有(填序号).解析只需保证a=2,b=2,c=2即可,而椭圆的顶点坐标为(0,2),(2,0),故可求得椭圆方程为=1.答案5.若分别过椭圆=1(ab0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是.解析设两直线的交点为M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由椭圆的定义,可得d1+d2=2a.MF1MF2,=4c2.(d1+d2)2=+2d1d22(),当且仅当d1=d2=a时等号成立,即4a22(4c2),ac,即e又e1,eb0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.解设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.所以=b2,所以-c2+b2=c2,解得因为x0-a,a,所以0,a2,即0a2,所以2c2a23c2.即,所以,即椭圆离心率的取值范围是
