1、第四章DISIZHANG导数应用习题课导数的综合应用课后篇巩固提升1.若不等式0在1,2上恒成立,则实数a的取值范围是()A.a-1B.a-1C.a4答案D解析依题意不等式x3-2x-ax3-2x,令g(x)=x3-2x,则g(x)=3x2-20在1,2上恒成立,因此g(x)max=g(2)=4,故a4.2.已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c=()A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1答案A解析y=3x2-3,所以当y=0时,x=1.则x,y,y的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)y+0-0+yc+2c-2因此,当函数图像与x轴恰有两个
2、公共点时,必有c+2=0或c-2=0,所以c=-2或c=2.故选A.3.方程-ln x-2=0的根的个数为()A.0B.1C.2D.3答案C解析令f(x)=-lnx-2,则由f(x)=0,得x=4.当0x4时,f(x)4时,f(x)0.x=4是f(x)的唯一极小值点,且f(4)0,f(e4)=e2-60,f(x)在(e-2,4),(4,e4)上各有一个零点,对应的方程有2个根.故选C.4.设函数f(x)是奇函数f(x)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(
3、1,+)答案B解析令g(x)=,则g(x)=,因为x0时,xf(x)-f(x)0,则g(x)0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).故选B.5.已知y=f(x)为R上的可导函数,当x0时,f(x)+0,则函数g(x)=f(x)+的零点个数为()A.1B.2C.0D.0或2答案C解析因为函数y=f(x)为R上的可导函数,当x0时,f(x)+0,即0.令h(x)=xf(x),即0.所以可得所以函数h(x)在x0时是增加的,所以h(x)h(0)=0.即当x0时,h(x)0.同理当x0.又因为函数g(x)=f(x)+可化为g(x)=,所以当x0时,g(x)0,即与x轴没交点.当x0时,g(x)0
4、,解得x0,所以f(x)的递增区间为(0,+);(2)f(x)=2ex-a,当a0时,因为2ex0,所以f(x)0恒成立,此时f(x)是增加的,不存在两个零点,故舍去;当a0时,易知当xln,+时,f(x)0,f(x)是增加的;当x-,ln时,f(x)0,f(x)是减少的;又当x+时,f(x)+,当x-时,f(x)+,若使f(x)有2个零点,只需最小值fln0即可,即fln=2-aln+2=-a-aln2e-1.故a(2e-1,+).9.已知函数f(x)=ln x.(1)若函数h(x)=f(x)+x2-ax在点(1,h(1)处的切线与直线4x-y+1=0平行,求实数a的值;(2)对任意的a-1
5、,0),若不等式f(x)lnx-ax2-2x对任意的a-1,0)恒成立,则b,由函数(a)=-x2a-2x+lnx在a-1,0)上是减少的,所以(a)max=(-1)=x2-2x+lnx,因此问题转化为不等式bx2-2x+lnx在x(0,1上恒成立,令G(x)=x2-2x+lnx,则G(x)=x-2+0.因此G(x)max=G(1)=-,故b的取值范围为b-.10.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)有极值,求b的取值范围;(2)当f(x)在x=1处取得极值时,证明:对-1,2内的任意两个值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|.(1)解因为f(x)=x3-x2+bx+c,所以f(x)=3x2-x+b,要使f(x)有极值,则f(x)=3x2-x+b=0有两个不相等的实数解,从而=1-12b0,解得b.(2)证明因为f(x)在x=1处取得极值,所以f(1)=3-1+b=0.所以b=-2.由上可知,当x=1时,f(x)有极小值-+c,当x=-时,f(x)有极大值+c.又f(2)=2+c,f(-1)=+c,所以当x-1,2时,f(x)的最小值为-+c,最大值为2+c.所以|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|=,故结论成立.
