1、第五章DIWUZHANG数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入课后篇巩固提升A组1.若复数z=(x2+x-2)+(x-1)i(i为虚数单位)为纯虚数,则实数x的值为()A.1B.2C.-2D.1或-2解析因为复数z=(x2+x-2)+(x-1)i(i为虚数单位)为纯虚数,所以x2+x-2=0,x-10,解得x=-2.故选C.答案C2.下列命题中:若xC,yC,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集;若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;若实数a与ai对应,则实数集与复数集一一对应.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3
2、解析取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故错;,错;对于,a=0时,ai=0,错.答案A3.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为()A.1B.1或-4C.-4D.0或-4解析由题意知4-3a=a2,-a2=4a,解得a=-4.答案C4.若2+ai=b-i,其中a,bR,i是虚数单位,则复数z=a+bi的模等于()A.1B.2C.5D.5解析a,bR,2+ai=b-ia=-1,b=2,|z|=1+4=5.答案C5.已知复数z=12i2,则复数z在复平面上对应的点在()A.直线y=-12x上B.直线y=12x上C.直线x=-12上D.直线y=-12上解析z=12
3、i2=-12,其在复平面上对应的点的坐标为-12,0,点在直线x=-12上.故选C.答案C6.已知复数z=m2-m+(m2-1)i(mR).若z是实数,则m的值为;若z是虚数,则m的取值范围是;若z是纯虚数,则m的值为.解析z=m2-m+(m2-1)i;实部为m2-m,虚部为m2-1.当m2-1=0,即m=1时z为实数;当m2-10,即m1时,z为虚数;当m2-m=0且m2-10,即m=0时,z为纯虚数.答案1m107.已知复数z=2a-5i(aR)在复平面内对应的点位于第四象限,且|z|=3,则复数z=.解析因为z在复平面内对应的点位于第四象限,所以a0,由|z|=3知,4a2+(5)2=3
4、,解得a=1,故a=1,所以z=2-5i.答案2-5i8.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(mR)有实根n,则复数z=m+ni=.解析由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,即n2+mn+2=0,2n+2=0,解得m=3,n=-1,z=m+ni=3-i.答案3-i9.实数k为何值时,复数z=(1+i)k2-(3+5i)k分别是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?解z=(1+i)k2-(3+5i)k=(k2-3k)+(k2-5k)i.(1)当k2-5k=0时,zR,此时k=5或k=0.(2)当k2-5k0时,z是虚数,此时k5且k0.(3)当k2-3k=0,k2-5k
5、0时,z是纯虚数,解得k=3.10.在复平面内画出复数z1=12+32i,z2=-12-32i,z3=12-32i对应的点,并求出各复数的模.解根据复数与复平面内的点的一一对应关系,可知点Z1,Z2,Z3对应的坐标分别为12,32,-12,-32,12,-32,如图所示.|z1|=122+322=1,|z2|=-122+-322=1,|z3|=122+-322=1.B组1.方程x2+6x+13=0的一个根是()A.-3+2iB.3+2iC.-2+3iD.2+3i解析一元二次方程x2+6x+13=0中,=62-4113=-16z2 ,则a的值为.解析z1z2,2a2-3a=0,a2+a=0,-4
6、a+12a,解得a=0.答案04.已知集合M=(a+3)+(b2-1)i,8,集合N=3i,(a2-1)+(b+2)i满足MN,求整数a,b.解根据题意:(a+3)+(b2-1)i=3i或8=(a2-1)+(b+2)i或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.由得a=-3,b=2,由得a=3,b=-2.中,a,b无整数解.综上可知,a=-3,b=2或a=3,b=-2或a=-3,b=-2.5.已知复数z1=1+cos +isin ,z2=1-sin +icos ,且|z1|2+|z2|22,求的取值范围.解|z1|2=(1+cos)2+sin2=2+2cos,|z2|2=(1-sin)2+cos2=2-2sin,由|z1|2+|z2|22得2+2cos+2-2sin2,即cos-sin-1.cos+4-22.2k-2k+2(kZ).故的取值范围是2k-,2k+2(kZ).
