1、第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程习题课抛物线的综合问题及应用课后篇巩固提升1.已知抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,过F作倾斜角为30的直线,与抛物线交于A,B两点,若(0,1),则=()A.B.C.D.答案C解析因为抛物线的焦点为,直线方程为y=x+,与抛物线方程联立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,所以.故选C.2.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列,则k=()A.2或-1B.-1C.2D.1答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0
2、,故=16(k+2)2-16k2=64(1+k)0,解得k-1,且x1+x2=.由|AF|=x1+=x1+2,|BF|=x2+=x2+2,且|AF|,4,|BF|成等差数列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,所以=4,解得k=-1或k=2,又k-1,故k=2,故选C.3.已知椭圆=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,则过F作倾斜角为的直线分别交抛物线于A,B(点A在x轴上方)两点,若=3,则的值为()A.30B.120C.60D.60或120答案C解析依题意,F(1,0)是抛物线y2=2px(p0)的焦点,故=1,则p=2,y2=4x.根据已知条件如图所示,A在x轴上方,
3、倾斜角是锐角,分别过A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,过B作AA1的垂线,垂足为P,设|BF|=x,|AF|=3x,根据抛物线的定义知|BB1|=x,|AA1|=3x,所以在直角梯形AA1B1B中,|A1P|=x,|AP|=|AA1|-|A1P|=2x,|AB|=4x,又直线AB的倾斜角=AFx=BAP,故cos=cosBAP=,又是锐角,故=60.故选C.4.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)解析依题意可知,机器人行进的轨迹方程为y2=4x.设斜率
4、为k的直线方程为y=k(x+1),联立消去y,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由=(2k2-4)2-4k41,解得k1.5.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.答案2解析设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2.6.过点P(2,2)作抛物线y2=3x的弦AB,恰被P所平分,则AB所在的直线方程为.答案3x-4y+2=0解析方法一:设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有=3x
5、1,=3x2,x1+x2=4,y1+y2=4.-,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).将代入得y1-y2=(x1-x2),即,k=.所求弦AB所在直线方程为y-2=(x-2),即3x-4y+2=0.方法二:设弦AB所在直线方程为y=k(x-2)+2.由消去x,得ky2-3y-6k+6=0,此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由韦达定理和中点坐标公式,得y1+y2=,又y1+y2=4,k=.所求弦AB所在直线方程为3x-4y+2=0.7.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.答案-4
6、解析由于P,Q为抛物线x2=2y,即y=x2上的点,且横坐标分别为4,-2,则P(4,8),Q(-2,2),从而在点P处的切线斜率k1=4.得曲线在点P处的切线方程为y-8=4(x-4);同理,曲线在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2).将这两个方程联立,解得交点A的纵坐标为-4.8.在|PF|=x0+1;y0=2x0=2这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.问题:已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点P(x0,y0)在抛物线C上,且.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l过抛物线C的焦点F,l与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程.解(1
7、)若选择条件,根据焦半径公式可知|PF|=x0+=x0+1,解得p=2,所以抛物线的方程是y2=4x;若选择条件y0=2x0=2,即P(1,2),代入抛物线方程,得22=2p1,解得p=2,所以抛物线方程是y2=4x.(2)抛物线的焦点F(1,0),当直线l的斜率不存在时,|AB|=2p=48,所以直线l的斜率存在,设直线l:y=k(x-1),与抛物线方程联立得k2(x-1)2=4x,化简为k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2+,|AB|=x1+x2+p=2+2=8,解得k=1,所以直线l的方程是y=x-1或y=-x+1.9.如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以
8、外的两个动点,已知OAOB,OMAB.求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解点A,B在抛物线y2=4px上设A,B,OA,OB的斜率分别为kOA,kOB,所以kOA=,kOB=,由OAOB,得kOAkOB=-1,又点A在AB上,得直线AB方程为(yA+yB)(y-yA)=4p,由OMAB,得直线OM方程为y=x,设点M(x,y),则x,y满足,两式,将式两边同时乘以-,并利用式,可得=-x2+,整理得yAyB+(x2+y2)=0,由式知,yAyB=-16p2,所以x2+y2-4px=0,因为A,B是原点以外的两点,所以x0.所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆去掉坐标原点.
