1、习题课导数的综合应用1.若不等式-x3+2x+ax0在1,2上恒成立,则实数a的取值范围是()A.a-1B.a-1C.a4解析:依题意不等式x3-2x-ax3-2x,令g(x)=x3-2x,则g(x)=3x2-20在1,2上恒成立,因此g(x)max=g(2)=4,故a4.答案:D2.已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c=()A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1解析:y=3x2-3,所以当y=0时,x=1.则x,y,y的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)y+0-0+yc+2c-2因此,当函数图像与x轴恰有两个公共点时,必有c+2=0或c
2、-2=0,所以c=-2或c=2.故选A.答案:A3.方程x-ln x-2=0的根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:令f(x)=x-lnx-2,则由f(x)=12x-1x=0,得x=4.当0x4时,f(x)4时,f(x)0.x=4是f(x)的唯一极小值点,且f(4)0,f(e4)=e2-60,f(x)在(e-2,4),(4,e4)上各有一个零点,对应的方程有2个根.故选C.答案:C4.若不等式ax2ln x恒成立,则实数a的取值范围是()A.a12eB.a12eC.a0,则函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为()A.1B.2C.0D.0或2解析:因为函数y=f(x)为R上的可导函数,
3、当x0时,f(x)+f(x)x0,即xf(x)+f(x)x0.令h(x)=xf(x),即h(x)x0.所以可得h(x)0x0或h(x)0,x0时是增加的,所以h(x)h(0)=0.即当x0时,h(x)0.同理当x0.又因为函数g(x)=f(x)+1x可化为g(x)=xf(x)+1x,所以当x0时,g(x)0,即与x轴没交点.当x0时,g(x)0.所以函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为0.故选C.答案:C6.函数f(x)=x3-12x+3,g(x)=3x-m,若x1-1,5,x20,2,f(x1)g(x2),则实数m的最小值是.解析:由题意f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),则
4、f(x)在-1,2上是减少的,在2,5上是增加的,所以x-1,5时,f(x)min=f(2)=8-24+3=-13.又g(x)=3x-m在0,2上是增加的,所以x0,2时,g(x)min=g(0)=1-m,所以-131-m,得m14,故mmin=14.答案:147.函数y=ln x+x2的图像与函数y=3x-b的图像有3个不同的交点,则实数b的取值范围是.解析:依题意方程lnx+x2-3x+b=0有3个实数根,即b=-lnx-x2+3x,令f(x)=-lnx-x2+3x,则f(x)=-1x-2x+3=-2x2+3x-1x=-(2x-1)(x-1)x,因此f(x)在x=12取得极小值f12=54
5、+ln2,在x=1取得极大值f(1)=2,故实数b的取值范围是54+ln2,2.答案:54+ln2,28.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是.解析:f(x)=ex-2,令f(x)=0,解得x=ln2,当x(-,ln2)时,f(x)0,则f(x)在区间(ln2,+)上是增加的,当x=ln2时,f(x)=ex-2x+a取得最小值,为eln2-2ln2+a=2-2ln2+a.由题意,得2-2ln2+a0,解得a2ln2-2.答案:a2ln 2-29.导学号01844051已知函数f(x)=ln x.(1)若函数h(x)=f(x)+12x2-ax在点(1,h(1)处的切线与直线4
6、x-y+1=0平行,求实数a的值;(2)对任意的a-1,0),若不等式f(x)lnx-12ax2-2x对任意的a-1,0)恒成立,则blnx-12ax2-2xmax,由函数(a)=-12x2a-2x+lnx在a-1,0)上是减少的,所以(a)max=(-1)=12x2-2x+lnx,因此问题转化为不等式b12x2-2x+lnx在x(0,1上恒成立,令G(x)=12x2-2x+lnx,则G(x)=x-2+1x=(x-1)2x0.因此G(x)max=G(1)=-32,故b的取值范围为b-32.10.导学号01844052已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c.(1)若f(x)有极值,求b的取值
7、范围;(2)当f(x)在x=1处取得极值时,证明:对-1,2内的任意两个值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|74.(1)解因为f(x)=x3-12x2+bx+c,所以f(x)=3x2-x+b,要使f(x)有极值,则f(x)=3x2-x+b=0有两个不相等的实数解,从而=1-12b0,解得b112.(2)证明因为f(x)在x=1处取得极值,所以f(1)=3-1+b=0.所以b=-2.由上可知,当x=1时,f(x)有极小值-32+c,当x=-23时,f(x)有极大值2227+c.又f(2)=2+c,f(-1)=12+c,所以当x-1,2时,f(x)的最小值为-32+c,最大值为2+c.所以|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|=74,故结论成立.
