1、第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60,则c=()A.1B.2C.4D.6解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).答案C2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为()A.B.C.D.解析由余弦定理的推论,得cosC=.因为C(0,),所以C=,sinC=.故选C.答案C3.在ABC中,角A,B,C的对边分别是边a,b,c,若a=3,c=2,A+
2、C=,则b=()A.B.6C.7D.8解析A+C=,B=-(A+C)=.a=3,c=2,由余弦定理可得b=.故选A.答案A4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60,b2=ac,则ABC一定是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=ac,化为(a-c)2=0,解得a=c.又B=60,可得ABC是等边三角形,故选C.答案C5.(2020全国高考)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=()A.B.C.D.解析AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=16+9-
3、24=9,AB=3,cosB=.答案A6.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cos B=()A.B.C.D.解析由余弦定理的推论及已知可得cosB=.答案B7.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2-c2=2b,且sin B=6cos Asin C,则b的值为.解析由正弦定理及余弦定理的推论,得sinB=6cosAsinC可化为b=6c,化简得b2=3(b2+c2-a2).a2-c2=2b,且b0,b=3.答案38.如图,在ABC中,已知点D在边BC上,ADAC于点A,sinBAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.解析因
4、为sinBAC=,且ADAC,所以sin,所以cosBAD=.在BAD中,由余弦定理,得BD=.答案9.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cos B=.(1)求b的值;(2)求sin C的值.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=22+32-223=10,b=.(2)由余弦定理的推论及(1),得cosC=.C是ABC的内角,sinC=.10.在ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.解由正弦定理,得=2cosA=2,a+c=10,a=4,c=6.由余弦定理的推论,得,解得b=4或b=5.当b=4时,a=4,A=B.又C=2
5、A,且A+B+C=,A=,与已知cosA=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,故b=5.能力提升1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则tan A的值是()A.B.-C.D.-解析由已知利用正弦定理,得b2+c2-a2=-bc.由余弦定理的推论,得cosA=-.因为0A,所以A=,tanA=tan=-,故选D.答案D2.有一个内角为120的三角形的三边长分别是m,m+1,m+2,则实数m的值为()A.1B.C.2D.解析由已知利用余弦定理的推论可得cos120=,可得-,化简可得2m2-m-3=0,解得m=
6、或-1(舍去).故选B.答案B3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=,cos A=,b=3,则边c的长为()A.2B.2C.2D.2解析B=,cosA=,b=3,sinA=,由正弦定理,可得a=4,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得32=27+c2-23c,可得c2-2c-5=0,解得c=2-2(舍去).答案B4.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若ccos B=bcos C,且cos A=,则sin B=()A.B.C.D.解析由正弦定理和ccosB=bcosC得sinCcosB=sinBcosC,sin(B-C)=0,又-180B-C180
7、,B=C,b=c.cosA=,由余弦定理可得a2=2b2-2b2,a=b.由余弦定理的推论得cosB=,故sinB=.答案D5.(2020全国卷,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,ABAC,ABAD,CAE=30,则cosFCB=.解析由题意得BD=AB=,BC=2.D,E,F重合于一点P,AE=AD=,BF=BD=,在ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+()2-21cos30=1,CE=CF=1.在BCF中,由余弦定理的推论,得cosFCB=-.答案-6.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,
8、b=3,C=2A,则cos C的值为.解析a=2,b=3,C=2A,由正弦定理,可得,可得cosA=,由余弦定理的推论可得cosA=,解得c2=10,可得cosC=.答案7.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解(1)由已知,得-cos(A+B)+cosAcosB-sinAcosB=0,即sinAsinB-sinAcosB=0.sinA0,sinB-cosB=0,由此,得tanB=.又B(0,),B=.(2)由(1)得cosB=,又a+c=1,b2=a2+c2-2accosB=3a2-3a+1=3a-2+.0a1,3a-2+1,即b21,b1,b的取值范围是,1.
