1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.某市对该市观看中央台播放的2018年春节联欢晚会进行统计,该市收视率为65.4%,这表示()A.该市观看该节目的频数B.在1 000户家庭中总有654户收看该节目C.反映该市观看该节目的频率D.该市收看该节目的共有645户答案C2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率为的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件,它
2、是“2张全是移动卡”的对立事件,因此“至多有一张移动卡”的概率为.答案A3.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为()A.B.C.D.解析令A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则=“甲不输”.P(A)=,P(B)=,P(C)=1-.P()=1-.故甲不输的概率为.答案A4.口袋内装有一些大小、质地都相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是()A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7解析摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.答案C5.在区间0,2上随机地取一个数x
3、,则事件“-11”发生的概率为()A.B.C.D.解析由-11,得x+2,得0x.由几何概型的概率计算公式,得所求概率P=.答案A6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A.B.1-C.D.1-解析记“点P到点O的距离大于1”为事件A,P(A)=1-.答案B7.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,则三位学生的座位号与其编号恰好都不同的概率是()A.B.C.D.解析编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位时,1号
4、学生有3种坐法,2号学生有2种坐法,3号学生只有1种坐法,所以一共有6种坐法,其中座位号与其编号恰好都不同的坐法只有2种,所以所求概率为.故选B.答案B8.如图所示,墙上挂有一个边长为a的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是()A.1-B.C.1-D.与a的取值有关解析阴影部分面积为a2-=a2,故所求概率为=1-,故选A.答案A9.在区间0,4上随机取两个实数x,y,使得x+2y8的概率为()A.B.C.D.解析由x,y0,4知(x,y)构成的区域是边长为4的正
5、方形及其内部,其中满足x+2y8的区域为如图所示的阴影部分.易知A(4,2),S正方形=16,S阴影=12.故“使得x+2y8”的概率P=.答案D10.在长为12 cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A.B.C.D.解析设AC=xcm(0x12),则CB=(12-x)cm,则矩形面积S=x(12-x)=12x-x20,解得0x4或8xAB).设AB=x,过点E作EFAB交AB于点F,则BF=x.在RtFBE中,EF2=BE2-FB2=AB2-FB2=x2,即EF=x,所以.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分
6、,共20分)13.三张卡片上分别写有字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英语单词BEE的概率是.答案14.已知函数f(x)=x2-ax,其中a0,6,则f(x)在1,+)上增加的概率为.解析要使f(x)在1,+)上是增加的,应有所以0a2,故所求概率为.答案15.如图,靶子由三个半径为R,2R,3R的同心圆组成,如果你向靶子内随机地掷一支飞镖,命中区域、的概率分别为p1,p2,p3,则p1p2p3=.解析p1p2p3=R2(4R2-R2)(9R2-4R2)=135.答案13516.在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.解析
7、直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d=3,解得-k,而k-1,1,所以发生的概率为.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取1个,其中恰有2个面涂有颜色的概率是多少?解共有64个小正方形,从中任取1个是等可能事件,其中3个面上有颜色共8个,2个面上有颜色的有24个,只有1个面上有颜色的有24个.于是,记事件A为“从中任取一个小正方体,恰有2面涂有颜色”,共包含24个基本事件,故P(A)=.18.(本小题满分12分)如图,在长为52,宽为42
8、的大矩形内有一个边长为18的小正方形,现向大矩形内随机投掷一枚半径为1的圆片,求:(1)圆片落在大矩形内部时,其圆心形成的图形面积;(2)圆片与小正方形及内部有公共点的概率.解(1)当小圆片落在大矩形内部时,其圆心形成的图形为一个长为50,宽为40的矩形,故其面积为S=5040=2000.(2)当小圆片与小正方形及内部有公共点时,其圆心形成的图形面积为S=(18+2)(18+2)-411+412=396+,故小圆片与小正方形及内部有公共点的概率为.19.(本小题满分12分)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:5,6,7,
9、8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解(1)总体平均数为(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体,全部可能的基本结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15个基本结果.事件A包含的基本结果
10、有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有7个基本结果.故所求的概率为P(A)=.20.导学号36424077(本小题满分12分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,在正方体内随机取一点M.(1)求点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率;(2)求点M到平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于的概率;(3)求使四棱锥M-ABCD的体积小于a3的概率.解(1)棱长为a的正方体的体积V=a3.由正方体的性质可知a3.点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率为P=.(2)两平行平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离为a,点M到平面
11、ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于的概率为.(3)设点M到平面ABCD的距离为h,由题意,得a2ha3,h.使四棱锥M-ABCD的体积小于a3的概率为.21.导学号36424078(本小题满分12分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分,用xn表示编号为n(n=1,2,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s;(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.解(1)第6位同学的成绩x6=756-70-76-72-70-72=90.方差s2
12、=(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2=294=49,所以标准差s=7.(2)前5位同学中成绩在区间(68,75)中的有4位,编号分别为:1,3,4,5.从前5位同学中随机选2位同学有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种选法,其中恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有4种选法:(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),共4种,所以恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为.22.导学号36424079(本小题满分12分)
13、某学校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组160,165),第2组165,170),第3组170,175),第4组175,180),第5组180,185,得到的频率分布直方图如图所示.(1)求第3,4,5组的频率;(2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,则第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(3)在第二问的前提下,学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官甲的面试,求第4组至少有一名学生被考官甲面试的概率.解(1)由题意可知,第3组的频率为0.065=0.3,第4组的频率为0
14、.045=0.2,第5组的频率为0.025=0.1.(2)第3组的人数为0.3100=30,第4组的人数为0.2100=20,第5组的人数为0.1100=10.因为3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为:第3组,0.130=3,第4组,0.120=2,第5组,0.110=1,所以,第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人.(3)设第3组的三位同学分别为A1,A2,A3,第4组的两位同学分别为B1,B2,第5组的一位同学为C1,则从六位同学中抽取两位同学有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共15种可能情况.其中第4组的2位同学B1,B2至少有一位同学入选的有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共9种可能情况,所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为P=.
