1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下表是样本中变量y随变量x变化的7组数据,由此判断它最可能是()x45678910y14181920232528A.线性函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型答案A解析画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或在该直线附近,故最可能是线性函数模型.2.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(单位:千元)与居民人均消费水平y(单位:千元)统计调查发现,y与x具有相关关系,回归方程为y=0.66x+1.562.若
2、某城市居民人均消费水平为7.675(单位:千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为()A.83%B.72%C.67%D.66%答案A解析当居民人均消费水平为7.675时,则7.675=0.66x+1.562,即职工人均工资水平x9.262,人均消费额占人均工资收入的百分比为100%83%.故选A.3.有下列说法:若某商品的销售量y(单位:件)关于销售价格x(单位:元/件)的线性回归方程为y=-5x+350,当销售价格为10元时,销售量一定为300件;线性回归直线y=bx+a一定过样本点中心();若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1;在残差图中,残差点比较均匀
3、地落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适,与带状区域的宽度无关;在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,R2越接近于1,表示回归的效果越好.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析当销售价格为10时,销售量的预估值为300件,但预估值与实际值未必相同,错误;由最小二乘法可知,回归直线必过(),正确;若两个随机变量为负相关,若线性相关性越强,相关系数r越接近-1,错误;残差图中,带状区域越窄,模型拟合度越高,错误;相关指数R2越接近1,拟合度越高,则在线性回归模型中,回归效果越好,正确.可知正确的结论共2个.4.若线性回归方程为y=2-3
4、.5x,则变量x增加一个单位,变量y平均()A.减少3.5个单位B.增加2个单位C.增加3.5个单位D.减少2个单位答案A解析由线性回归方程可知b=-3.5,则变量x增加一个单位,y减少3.5个单位,即变量y平均减少3.5个单位.5.下表是某厂14月份用水量(单位:百吨)的一组数据:月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是y=-0.7x+a,则a等于()A.10.5B.5.15C.5.2D.5.25答案D解析样本点的中心为(2.5,3.5),将其代入线性回归方程可解得a=5.25.6.两个分类变量X与Y,可能的取值分别为x1
5、,x2和y1,y2,其样本频数满足a=10,b=21,c+d=35,若X与Y有关系的可信程度为90%,则c的值可能等于()A.4B.5C.6D.7答案B解析若X与Y有关系的可信程度为90%,则2的范围为2.70623.841,因此,有95%的把握认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系.11.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表2,则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1性别成绩总计不及格及格男61420女102232总计163652表2性别视力总计好差男41620女122032总计163652表3性别智商总计偏高正常男
6、81220女82432总计163652表4性别阅读量总计丰富不丰富男14620女23032总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量答案D解析因为=,则,所以阅读量与性别有关联的可能性最大.12.以下关于线性回归的判断,正确的个数是()若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线;散点图中的绝大多数都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的A,B,C点;已知直线方程为y=0.50x-0.81,则x=25时,y的估计值为11.69;回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.A.0B.1C.2D.3答案D解析能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义知,
7、只有按最小二乘法求得回归系数b,a得到的直线y=bx+a才是回归直线,不对;正确;将x=25代入y=0.50x-0.81,得y=11.69,正确;正确,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中之一.在研究这两个因素的关系时,收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据,建立的线性回归方程为y=0.8x+4.6.斜率的估计值为0.8说明.答案美国一个地区的成年人受过9年或更少教育的百分比每增加1%,收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数
8、的百分比将增加0.8%左右14.在2017年春节期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:价格x99.51010.511销售量y1110865通过分析,发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系,则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为.答案y=-3.2x+40解析xiyi=392,=10,=8,(xi-)2=2.5,代入公式,得b=-3.2,所以,a=-b=40,故回归直线方程为y=-3.2x+40.15.下面是一个22列联表:y1y2总计x1a2170x25c30总计bd100则b-d=.答案8解析a
9、=70-21=49,c=30-5=25,b=49+5=54,d=21+25=46.b-d=8.16.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程y=0.67x+54.9.零件数x/个1020304050加工时间y/min62758189现发现表中有一个数据看不清,请推断出该数据的值为.答案68解析设表中有一个模糊不清的数据为m,由表中数据得=30,由最小二乘法求得回归方程y=0.67x+54.9,将=30,代入回归方程,得m=68.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17
10、.(10分)在某化学反应的中间阶段,压力保持不变,温度从1 变化到5 ,反应结果如下表所示(x代表温度,y代表结果):x12345y3571011(1)求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程y=bx+a;(2)判断变量与y之间是正相关还是负相关,并预测当温度达到10 时反应结果为多少?附:线性回归方程y=bx+a中,b=,a=-b.解(1)由题意:n=5,xi=3,yi=7.2,又-5=55-59=10,xiyi-5=129-537.2=21,b=2.1,a=-b=7.2-2.13=0.9,故所求的回归方程为y=2.1x+0.9.(2)由于变量y的值随温度的值增加而增加(b=2.10),故x
11、与y之间是正相关.当x=10时,y=2.110+0.9=21.9.18.(12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料,你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计解(1)由所给的频率分布直方图知,“体育迷”人数为100(100.020+100.005)=25.“非体育迷”人数为75,则据题意完成22列联表:非体育迷体育迷合计男301545女451
12、055合计7525100将22列联表的数据代入公式计算:2=3.0302.706.所以有90%的把握可以认为“体育迷”与性别有关.19.(12分)为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表:超过1小时不超过1小时男m8女128(1)求m,n;(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?附:2=(n=a+b+c+d).解(1)由已知可得该校有女生400人,根据题意可得,解得m=20,所以n=20+8+12+8=48
13、.(2)由题意得列联表如下:超过1小时的人数不超过1小时的人数总计男20828女12820总计321648根据表中的数据得2=0.6860.75,所以可认为x与y之间具有线性相关关系.(3)b=0.398,a=134.8.21.(12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x/101113128发芽数y/颗2325302616该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求
14、线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?解(1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”,则表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”.基本事件总数为10,事件包含的基本事件数为4.易得P()=,故P(A)=1-P()=.(2)计算得=12,=27,xiyi=97
15、7,=434,所以b=2.5,a=-b=27-2.512=-3,即y=2.5x-3.(3)由(2)知:当x=10时,y=22,误差不超过2颗;当x=8时,y=17,误差不超过2颗.故所求得的线性回归方程是可靠的.22.(12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:50,60),60,70),70,80),80,90),90,10
16、0分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到1名“25周岁以下组”工人的概率;(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22列联表,并判断是否有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关?P0.1000.0500.01022.7063.8416.635附:2=(n=a+b+c+d).解(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有600.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人
17、有400.05=2(人),记为B1,B2.从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手600.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手400.375=15(人),据此可得22列联表如下:生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得2=1.79.因为1.792.706.所以没有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关.
