1、模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.对于二项式(nN*),有以下四种判断:存在nN*,展开式中有常数项;对任意nN*,展开式中没有常数项;对任意nN*,展开式中没有x的一次项;存在nN*,展开式中有x的一次项.其中正确的是()A.与B.与C.与D.与解析:二项式的展开式的通项为Tr+1=x4r-n,由通项公式可知,当n=4r(kN*)和n=4r-1(kN*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.答案:D2.若x,yN+,且1x3,x+y7,则满足条件的不同的有序数对(x,y)的个数是()A.15B.12C.5D.4解析:当x
2、=1时,y=1,2,3,4,5,有5种;当x=2时,y=1,2,3,4,有4种;当x=3时,y=1,2,3,有3种.根据分类加法计数原理,得5+4+3=12.答案:B3.已知随机变量X服从正态分布N(3,2),则P(X3)等于()A.B.C.D.解析:正态曲线的对称轴为直线=3,所以P(X3)=,故选D.答案:D4.已知随机变量X的分布列如下:X0123P则P(2X5)=()A.1B.C.D.解析:由分布列可知P(2X5)=P(X=3)=.答案:C5.如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则此系统的可靠性为()A.0.504B.0.99
3、4C.0.496D.0.06解析:A,B,C三个开关相互独立,三个中至少有一个正常工作即可,由间接法知P=1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.10.20.3=0.994.答案:B6.下列说法:设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;线性回归直线y=bx+a必过点();两个变量间的相关系数r越小,说明两变量间的线性相关程度越低;在一个22列联表中,由计算得2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由线性回归直线的特点知正确,都错误.答案:C7.下表是某厂提供的节能降耗技术改造后生产
4、A产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨)的4组数据:x3456y2.5t44.5根据以上数据,求出的y关于x的线性回归方程为y=0.7x+0.35,那么表中t的值为()A.3B.3.15C.3.5D.4.5解析:由题意得0.35=-0.7-0.7,解得t=3,故选A.答案:A8.如图,用6种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域分别涂色,每个区域只能涂一种颜色,且相邻的区域不同色,不同的涂色方法的种数为()A.120B.480C.600D.720解析:若A,D涂同一种颜色,则有654=120(种)涂法;若A,D不涂同一种颜色,A有6种涂法,D有5种涂法,C有4种涂法,B
5、有4种涂法,则有6544=480(种)涂法,共有120+480=600(种)涂法.答案:C9.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中学生A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为()A.24B.48C.72D.120解析:学生A参加时有=48种参赛方案,A不参加时有=24种参赛方案,共72种参赛方案,故选C.答案:C10.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,正态分布密度曲线如下图所示,则成绩X位于区间(51,69的人数大约是()A.997B.954C.683D.341解析:由题图知XN(,2),其中=60,=9,所以P(-X+)=P(51p2,E1E
6、2B.p1E2C.p1p2,E1E2D.p1p2,E10,故p1p2,E1=1+2,E2=1+22+3,比较可知E10),若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为.解析:由题意得=1,故P(01)=P(12),所以P(02)=2P(01)=0.8.答案:0.8三、解:答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选出5名参加赈灾医疗队,其中:(1)内科医生甲与外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?(3)甲、乙二人至少有一人参加,有多少种选法?(4)医疗队中至少有一名内科医生和一名
7、外科医生,有多少种选法?解:(1)只需从其余18人中选3人即可,共有=816种选法.(2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8 568种选法.(3)分两类:即甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加两类,所以共有=6 936种.(4)方法一:(直接法)至少有一名内科医生和一名外科医生可分四类,一内四外,二内三外,三内二外,四内一外,所以共有=14 656种选法.方法二:(间接法)从总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数,即=14 656种选法.18.(本小题满分12分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,(a2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求a的值
8、.解:的展开式的通项为,令20-5r=0,得r=4,故常数项T5=16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n,由题意知2n=16,得n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T3,故有a4=54,解得a=.19.(本小题满分12分)4个女生和6个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)如果两端不都排女生,有多少种不同的排法?解:(1)(捆绑法)因为4个女生必须全排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样和6个男生一起,共有7个元素,
9、排成一排,有种不同的排法.对于其中的每一种排法,4个女生之间有种不同的排法,因此共有=120 960(种)不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可以先把6个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个位置,这样共有5个位置,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有7个位置,再把这4个女生插进这7个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于6个男生排成一排有种不同的排法,对于其中任意一种排法,从上述7个位置中选出4个来让4个女生插入,有种方法,因此共有=604 800(种)不同的排法.(3)(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能排6个男生中的2个,有种不同
10、的排法.对于其中任意一种排法,其余8个位置有种排法,所以共有=1 209 600(种)不同的排法.(4)(间接法)4个女生和6个男生排成一排,共有种不同的排法,从中扣除两端都是女生的种排法,得到两端不都是女生的排法种数.因此共有=3 144 960(种)不同的排法.20.(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了四次试验,结果如下:零件的个数x/个2345加工的时间y/小时2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;(2)求y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)试预测加工10个零件需要多少时间.解:(1)散点图如图.(2)由题表中数
11、据可得=3.5,=3.5,xiyi=52.5,=54,进而可求得b=0.7,a=3.5-0.73.5=1.05,线性回归方程为y=0.7x+1.05.(3)当x=10时,y=0.710+1.05=8.05,预测加工10个零件需要8.05小时.21.(本小题满分12分)一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体底面上的数字分别为x1,x2,记Y=(x1-3)2+(x2-3)2.(1)求Y取得最大值和最小值时的概率;(2)求Y的分布列.解:(1)底面上的数字x可能是1,2,3,4,则x-3的取值可能是-2,-1,0,1,于是(x-3)2的所有可能取值为0,
12、1,4.因此Y的可能取值为0,1,2,4,5,8.当x1=1且x2=1时,Y=(x1-3)2+(x2-3)2取得最大值8,此时P(Y=8)=;当x1=3且x2=3时,Y=(x1-3)2+(x2-3)2取得最小值0,此时P(Y=0)=.(2)由(1)知Y的可能取值为0,1,2,4,5,8,P(Y=0)=P(Y=8)=.当Y=1时,(x1,x2)可能为(2,3),(4,3),(3,2),(3,4),易知P(Y=1)=;当Y=2时,(x1,x2)可能为(2,2),(4,4),(4,2),(2,4),易知P(Y=2)=;当Y=4时,(x1,x2)可能为(1,3),(3,1),易知P(Y=4)=;当Y=5时,(x1,x2)可能为(2,1),(1,4),(1,2),(4,1),易知P(Y=5)=.所以Y的分布列为Y012458P22.(本小题满分12分)现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目非你莫属,若甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为(0t0,P(=2)-P(=0)=0,P(=2)-P(=3)=0,又因为0t2,所以解得t的取值范围是1t2.所以E.
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