1、广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=2（5分）不等式|的解集是（）A（0，2）B（，0）C（2，+）D（，0）（0，+）3（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D44（5分）已知等差数列an中，a2=6，前7项和S7=84，则a6等于（）A18B20C24D325（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话
2、的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件6（5分）若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则（）AabBabCa=bDa与b的大小关系不能确定8（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A5或8B1或5C1或4D4或8二、填空题：本大题共6小题每小题5分，满分30分9（5分）命题“xR，exx
3、”的否定是10（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c已知bcosC+ccosB=2b，则=11（5分）若椭圆+=1过点（2，），则其焦距为12（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3=a42，3S2=a32，则公比q=13（5分）设ab0，则的最小值是14（5分）已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤15（12分）已知锐角ABC的面积等于3，且AB=3，AC=4（1）求sin（+A）的值；（2）求cos（AB）的值16（12分）设等差数列an的前n项和为Sn，Sn=（
4、）2，nN+，求an的前n项和17（14分）已知c0，设命题p：函数y=cx为减函数；命题q：当x，2时，函数f（x）=x+ 恒成立，如果pq为真命题，pq为假命题，求c的取值范围18（14分）设f（x）=ax2+bx，1f（1）2，2f（1）4求f（2）的取值范围19（14分）已知椭圆的两焦点为F1（1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，F2F1P=120，求PF1F2的面积20（14分）已知等比数列an满足：a2=4公比q=2，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=bnan+（nN*）（1）求数列an和数
5、列bn的通项an和bn；（2）设cn=（nn*），证明：+广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=考点：四种命题间的逆否关系 专题：简易逻辑分析：原命题为：若a，则b逆否命题为：若非b，则非a解答：解：命题：“若=，则tan=1”的逆否命题为：若tan1，则故选C点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个
6、基础题2（5分）不等式|的解集是（）A（0，2）B（，0）C（2，+）D（，0）（0，+）考点：绝对值不等式 专题：计算题；转化思想分析：首先题目求不等式|的解集，考虑到分析不等式|含义，即的绝对值大于其本身，故可以得到的值必为负数解得即可得到答案解答：解：分析不等式|，故的值必为负数即，解得0x2故选A点评：此题主要考查绝对值不等式的化简问题，分析不等式|的含义是解题的关键，题目计算量小，属于基础题型3（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D4考点：简单线性规划的应用 专题：数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，
7、只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可解答：解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3故选C点评：本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题4（5分）已知等差数列an中，a2=6，前7项和S7=84，则a6等于（）A18B20C24D32考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由S7=84结合等差数列的性质求得a4=12，再由等差中项的概念列式求解a6的值解答：解：在等差数列an中，由S7=84，得：，即a4=12，又a2=6，a6=2a4a2=212
8、6=18故选：A点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，关键是由S7=84求得a4，是基础题5（ 5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件解答：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题所以“好货”“不便宜”，所以“不便宜”
9、是“好货”的必要条件，故选B点评：本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题6（5分）若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用 专题：计算题；压轴题分析：先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角解答：解：根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t0）c2
10、=a2+b22abcosCcosC=0角C为钝角故选C点评：本题主要考查余弦定理的应用注意与正弦定理的巧妙结合7（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则（）AabBabCa=bDa与b的大小关系不能确定考点：余弦定理；不等式的基本性质 专题：计算题；压轴题分析：由余弦定理可知c2=a2+b22abcosC，进而求得ab=，根据0判断出ab解答：解：C=120，c=a，由余弦定理可知c2=a2+b22abcosC，a2b2=ab，ab=，a0，b0，ab=，ab故选A点评：本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题8（5分）若
11、函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A5或8B1或5C1或4D4或8考点：带绝对值的函数；函数最值的应用 专题：选作题；不等式分析：分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值解答：解：1时，x，f（x）=x12xa=3xa11；x1，f（x）=x1+2x+a=x+a11；x1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1a2，1=3或a2=3，a=8或a=5，a=5时，1a2，故舍去；1时，x1，f（x）=x12xa=3xa12a；1x，f（x）=x+12xa=xa+1+1；x，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+
12、1+1，2a=3或+1=3，a=1或a=4，a=1时，+12a，故舍去；综上，a=4或8故选：D点评：本题主要考查了函数的值域问题解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题二、填空题：本大题共6小题每小题5分，满分30分9（5分）命题“xR，exx”的否定是xR，exx考点：命题的否定 专题：阅读型分析：本题要求出命题的否定，由于命题是一个特称命题，故其否定是不念旧恶全称命题，特称命题的否定的书写格式书写即可解答：解：p：“xR，exxp：xR，exx故答案为xR，exx点评：本题考点是命题的否定，考查命题否定的定义及命题否定的书写格式，属于基本题，在书写命题的否定时要注意全称命题的否定是特称命
13、题，特称命题的书写形式是全称命题，解答此类题时要正确书写10（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c已知bcosC+ccosB=2b，则=2考点：正弦定理 专题：解三角形分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果解答：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，sin（B+C）=sinA，sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握
14、正弦定理是解本题的关键11（5分）若椭圆+=1过点（2，），则其焦距为4考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c解答：解：由题意知，把点（2，）代入椭圆的方程可求得 b2=4，故椭圆的方程为 ，a=4，b=2，c=2，则其焦距为4故答案为4，点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中a、b、c之间的关系12（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3=a42，3S2=a32，则公比q=4考点：等比数列的前n项和；等比数
15、列的通项公式 专题：计算题分析：由于an 为等比数列，由可求得q解答：解：an 为等比数列，Sn为其前n项和，公比为q，又得：3a3=a4a3=a3（q1），a30，q1=3，q=4故答案为：4点评：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，着重考查公式的应用与解方程的能力，属于基础题13（5分）设ab0，则的最小值是4考点：基本不等式 专题：计算题分析：把式子变形 =，使用基本不等式求出其最小值解答：解：=2+2=4，当且仅当ab=1，a（ab）=1即a=，b=时等号成立，故答案为4点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键14（5分）已知数列an满足a1
16、=33，an+1an=2n，则的最小值为考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；压轴题分析：由累加法求出an=33+n2n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值解答：解：an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=21+2+（n1）+33=33+n2n所以设f（n）=，令f（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+，所以当n=5或6时f（n）有最小值又因为，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力三、解答题：本大
17、题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤15（12分）已知锐角ABC的面积等于3，且AB=3，AC=4（1）求sin（+A）的值；（2）求cos（AB）的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值分析：（1）利用三角形的面积公式列出关系式，将AB，AC的值代入求出sinA的值，根据A为锐角，求出cosA的值，原式利用诱导公式化简后将cosA的值代入计算即可求出值；（2）利用余弦定理列出关系式，将AB，AC，以及cosA的值代入求出BC的长，再由AC，BC，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值
18、代入计算即可求出值解答：解：（1）AB=3，AC=4，SABC=ABACsinA=34sinA=3，sinA=，又ABC是锐角三角形，cosA=，sin（+A）=cosA=；（2）AB=3，AC=4，cosA=，由余弦定理BC2=AB2+AC22ABACcosA=9+1612=13，即BC=，由正弦定理=得：sinB=，又B为锐角，cosB=，则cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB=+=点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键16（12分）设等差数列an的前n项和为Sn，Sn=（）2，nN+，求an的前n项和考点：数
19、列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意分别求得a1与a2，即得公差，进而可求出数列的和解答：解：Sn=（）20，等差数列an是递增数列d0a1=，即=0，a1=1，a1+a2=，即（a2+1）（a23）=0，a2=3，d=31=2sn=n+=n2点评：本题考查等差数列的性质及求和公式的运用，考查学生的计算能力17（14分）已知c0，设命题p：函数y=cx为减函数；命题q：当x，2时，函数f（x）=x+ 恒成立，如果pq为真命题，pq为假命题，求c的取值范围考点：复合命题的真假 专题：计算题；规律型分析：根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性
20、质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据pq为真命题，pq为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案解答：解：若命题p：函数y=cx为减函数为真命题则0c1当x，2时，函数f（x）=x+2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则2，结合c0可得cpq为真命题，pq为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0c当p假q真时，c1故c的范围为（0，1，+）点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握18（14分）设f（x）=ax2+bx，1f（1）2，2f（1）4求f（2）的取值范围考点：简单线性规划的应用
21、专题：数形结合；转化思想分析：要求f（2）的取值范围，解题的思路为：由f（x）关系式推出f（2）与f（1）和f（1）的关系，再利用f（1）和f（1）的范围，即可得f（2）的范围解答：解：法一：设f（2）=mf（1）+nf（1）（m、n为待定系数），则4a2b=m（ab）+n（a+b）即4a2b=（m+n）a+（nm）b于是得，解得，f（2）=3f（1）+f（1）又1f（1）2，2f（1）4，53f（1）+f（1）10，故5f（2）10点评：由af1（x1，y1）b，cf2（x1，y1）d，求g（x1，y1）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x1，y1）=pf1（x1，y1）+qf2（x
22、1，y1），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得g（x1，y1）取值范围19（14分）已知椭圆的两焦点为F1（1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，F2F1P=120，求PF1F2的面积考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求PF1F2的面积解答：解：（1）依题意得|F1F2|=2，又
23、2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，|PF1|+|PF2|=4=2a，a=2，c=1，b2=3所求椭圆的方程为+=1（3分）（2）设P点坐标为（x，y），F2F1P=120，PF1所在直线的方程为y=（x+1）tan 120，即y=（x+1）（4分）解方程组并注意到x0，y0，可得（6分）SPF1F2=|F1F2|=（8分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键20（14分）已知等比数列an满足：a2=4公比q=2，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=bnan+（nN*）（1）求数列an和数列bn的通项an和bn；（2）设cn=（nn*
24、），证明：+考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件得，所以Sn=bn（2n1），由此能推导出数列是首项为b1+2=4，公比为4的等比数列，从而得到（2）由，得，所以=，由此能证明解答：（1）解：由a2=4，q=2得，（2分）Sn=bnan+（nN*），Sn=bn（2n1），（nN*），则当n2时，bn=SnSn1=，（4分），（5分），（7分），b1=2，（8分）数列是首项为b1+2=4，公比为4的等比数列，（9分）=4n，（10分）（2）证明：由，得，（11分）=，k=1，2，3，n（13分）（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用
