1、江苏省南京市六校联考2020-2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1设z32i，则在复平面内z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限25名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ）A60B125C240D2433已知递增等比数列an的前n项和为Sn，a22，S37，则S7( )A64B63C127D48 43名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ）A4种B5种C6
2、种D8种5已知函数f(x)a2x3ax22x1在x1处取得极大值，则a的值为( )A1或2B1或2C1D26甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A12种B24种C48种D120种7数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )A60种
3、B78种C84种D144种8定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，若对任意实数x，有f(x)f(x)，且f(x)2022为奇函数，则不等式f(x)2022ex0的解集是( )A(，0) B(，2022) C(0，)D(2022，)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)9已知复数z，则下列结论中正确的是（ ）Az的虚部为i B2i C|z| Dz在复平面内对应的点位于第四象限10已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A函数f(x)在x1处取得极
4、大值 B函数f(x)在x1处取得极小值Cf(x)在区间(2，3)上单调递减 Df(x)的图象在x0处的切线斜率小于零11现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）A所有可能的方法有34种B若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种12若0x1x21，e为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ）Ax2x1Bx2x1Clnx2lnx1Dlnx2lnx1三、填空题(本大题共4小题，每小题5分
5、，共20分)13设z1x2i，z23yi，(x，yR)，且z1z256i，则z1z2_.14函数f(x)x33x22在区间2，2上的最大值是_.15用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的的五位数有_个.（用数字作答）16已知f(x)xexe2，g(x)x22x1a，若存在x1R，x2(1，)，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是_.四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，1822题每题12分，共70分)1710件不同厂生产的同类产品：（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？（2）若要选
6、6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？18已知是虚数单位，复数.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求复数的模.19已知函数在处的切线为（1）求实数a，b的值；（2）求函数在上的最大值20已知数列的前项和为，且，数列是公差大于0的等差数列，且，成等比数例（1）求数列和的通项公式；（2）若，求21将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放
7、法？22已知，（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围. 南京市20202021学年度第二学期期中六校联考高二数学试卷 解析版本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1设z32i，则在复平面内z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【考点】复数的几何意义【解析】由题意，因为z32i，实部大于0，虚部小于0，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限，故答案选D.25名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ）A60B125C240D243【答案】D【考
8、点】排列组合【解析】由题意可知，每名同学都有3种选择方式，5名同学则共有35243种选择种数，故答案选D.3已知递增等比数列an的前n项和为Sn，a22，S37，则S7( )A64B63C127D48 【答案】C【考点】等比数列的概念及性质应用【解析】由题意可设，等比数列的公比为q，则22q7，化简得2q25q20，解得q2或(舍去)，则a11，所以S7127，故答案选C.43名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ）A4种B5种C6种D8种【答案】C【考点】排列组合：选派问题【解析】由题意可知，对于选派问题，先选：，然后再排：，则
9、不同的分配问题共有6种，所以答案选C.5已知函数f(x)a2x3ax22x1在x1处取得极大值，则a的值为( )A1或2B1或2C1D2【答案】C【考点】函数的极值点概念应用【解析】由题意可知，f(x)a2x23ax2，则f(1)0，即a23a20，解得a1或2，当a1时，f(x)x23x2，令f(x)0，解得x1或2，所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即在x1处取得极大值，满足题意；当a2时，f(x)4x26x2，令f(x)0，解得x或1，所以f(x)在(，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，即在x处取得极大值，不符合题意，
10、所以舍去，故答案选C.6甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A12种B24种C48种D120种【答案】B【考点】排列组合：站位问题中的捆绑法与插空法【解析】由题意可知，甲和乙必须相邻则需要捆绑，则先排其他3人，无位置要求，为，此时有4个空位，需要插空，则甲和乙不站在两端则有2个空，为，最后考虑甲和乙两人的位置，为，所以甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有24种，故答案选B.7数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开
11、设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )A60种B78种C84种D144种【答案】B【考点】新情景问题下的【解析】由题意可知，三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2若是1，1，2，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有36种；若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共种24种；若是0，2，2，则
12、先将4门学科分成三组种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有18种所以每位同学的不同选修方式有36241878种；故答案选B8定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，若对任意实数x，有f(x)f(x)，且f(x)2022为奇函数，则不等式f(x)2022ex0的解集是( )A(，0) B(，2022) C(0，)D(2022，)【答案】C【考点】函数的单调性应用：利用导数的运算律构造新函数进而解不等式【解析】由题意，因为f(x)2020为奇函数，所以f(0)20200，f(0)2020，考虑函数，则F(x)0， 所以在R上单调递减，因为所以f(x)2022ex0的
13、解集等价于0的解集，即F(x)F(0)的解集为(0，)，故答案选C二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)9已知复数z，则下列结论中正确的是（ ）Az的虚部为i B2i C|z| Dz在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BC【考点】复数的概念及运算综合【解析】由题意可知，z2i，所以z的虚部为1，2i，|z|，z在复平面内对应的点位于第一象限，所以选项BC正确，选项AD错误，故答案选BC.10已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A函数f(x)在x
14、1处取得极大值 B函数f(x)在x1处取得极小值Cf(x)在区间(2，3)上单调递减 Df(x)的图象在x0处的切线斜率小于零【答案】CD【考点】导数的概念、几何意义及应用【解析】由题意，根据f(x)的图象可得到，f(x)在(，2)上单调递增，在(2，1)上单调递减，在(1，3)上单调递减，且f(2)f(1)0，所以函数f(x)在x2处取得极大值，不在x1处取得极小值，因为f(x)在(2，3)上满足f(x)0，所以可得到f(x)在区间(2，3)上单调递减，又f(0)0，则由导数的几何意义可知f(x)的图象在x0处的切线斜率小于零，所以选项AB错误，选项CD正确；故答案选CD.11现安排高二年级
15、A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）A所有可能的方法有34种B若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【考点】两个计数原理的应用【解析】由题意可知，对于选项A，每名同学都有4种选择，则只能选择一个工厂共有43种，所以选项A错误；对于选项B，则若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有339种，则此情况共有927种；若有2名同学去工厂甲，则同学选派情况
16、有，另外1名同学的排法有3种，此种情况共有39种；若有3名同学去工厂甲，即3名同学都去工厂甲，此种情况唯一，为1种；则工厂甲必须有同学去的情况共有279137种安排方法，所以选项B正确；对于选项C，若同学A必须去工厂甲，则另外2 名同学各有4个工厂选择，即另外2 名同学有4416种安排方法，所以选项C正确；对于选项D，若三名同学所选工厂各不相同，则有24种，所以选项D正确；综上，答案选BCD12若0x1x21，e为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ）Ax2x1Bx2x1Clnx2lnx1Dlnx2lnx1【答案】ACD【考点】函数的单调性应用：构造新函数问题【解析】由题意可知，对于选项AB
17、，可构造f(x)，则f(x)，所以当x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上单调递减，又因为0x1x21，所以f(x1)f(x2)，即，则化为x2x1，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，可构造g(x)exlnx，则g(x)ex，设h(x)xex1，因为h(0)10，h(1)e10，则由函数的零点存在性定理可知，存在x0(0，1)，使得h(x0)0，又因为h(x)(1x)ex，则当x(0，1)时，h(x)0，所以h(x)在(0，1)上单调递增，所以当x(0，x0)时，g(x)0，函数g(x)在(0，x0)上单调递减；当x(x0，1)时，g(x)0，函数g(x)在(x0，1)上单调递增
18、，若0x1x2x0，则有g(x1)g(x2)，即lnx1lnx2，则有lnx2lnx1；若x0x1x21，则有g(x1)g(x2)，即lnx1lnx2，则有lnx2lnx1，则选项CD错误；综上，答案选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设z1x2i，z23yi，(x，yR)，且z1z256i，则z1z2_.【答案】2210i【考点】复数的简单运算【解析】由题意可知，z1z2x2i3yix3(2y)i56i，所以x35，2y6，解得x2，y8，所以z122i，z238i，所以z1z2(22i)(38i)2210i.14函数f(x)x33x22在区间2，2上的最大值是_
19、.【答案】2【考点】利用函数单调性求最值【解析】由题意可知，f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，则x0或2，所以f(x)在2，0)上单调递增，在0，2上单调递减，且f(2)2，f(2)18，f(0)2，所以在2，2上的最大值是2.15用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的的五位数有_个.（用数字作答）【答案】216【考点】排列组合：整除问题【解析】由题意，有分类计数原理可得：当个位数为0时，其他位数上无要求，则有120个；当个位数为5时，则先从1、2、3、4种选一个数放到万位上，然后再全排中间的三个位数上的数字，则有96个；所以满足题意的五位数有12096216
20、个.16已知f(x)xexe2，g(x)x22x1a，若存在x1R，x2(1，)，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是_.【答案】(e2，)【考点】函数的成立问题求参数范围【解析】由题意可知，f(x)(x1)ex，令f(x)0，解得x1；f(x)0，解得x1，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以在x1处取得最小值，即f(x)minf(1)e2，又g(x)x22x1a(x1)2a，所以g(x)在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)a，因为存在x1R，x2(1，)，使得f(x1)g(x2)成立，所以f(x)ming(x)max，则e2a，所以实数a的
21、取值范围是(e2，).四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，1822题每题12分，共70分)1710件不同厂生产的同类产品：（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？（2）若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？【答案】（1）1680种；（2）50400种【考点】两个计数原理与排列组合的应用【解析】（1）件商品，除去不能参加评选的件商品，剩下件，从中选出件进行排列，有(或)(种)；（2）分步完成，先将获金质奖章的两件商品布置在个位置中的两个位置上，有种方法，再从剩下的
22、件商品中选出件，布置在剩下的个位置上，有种方法，共有(或)(种)18已知是虚数单位，复数.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求复数的模.【答案】（1）2 （2）【考点】复数的概念及运算应用【解析】（1）若为纯虚数，则，且，解得实数的值为2；（2）在复平面上对应的点，由条件点在直线上，则，解得则所以19已知函数在处的切线为（1）求实数a，b的值；（2）求函数在上的最大值【答案】（1）,（2）【考点】导数的几何意义应用：切线方程问题；利用函数单调性求最值问题【解析】（1）由题意可知切点为，即，即，（2）由（1）可知，当时，；当时，即函数在区间上单调递增，在区间上单调
23、递减，即.20已知数列的前项和为，且，数列是公差大于0的等差数列，且，成等比数例（1）求数列和的通项公式；（2）若，求【答案】（1），；（2）【考点】数列的通项与求和【解析】（1），时，两式相减得，由得，数列是公比的等比数列，首项，所以数列的通项公式为，又，成等比得，公差，数列的通项公式为（2），得21将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？【答案】（1）24；（2）144；（3）8【考点】排列组合经典问题：
24、全排问题、捆绑法、列举法等【解析】（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有种答：共有24种放法（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，所以共有（种）放法答：共有144种放法（3）一个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有（种）放法答：共有8种放法22已知，（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间为；（2）.【考点】函数的单调性求解、利用函数的单调性解决恒成立问题【解析】（1）解：的定义域为，令得或.当x变化时，变化如下：0200增极大值减极小值增所以的单调递增区间为和，递减区间为.（2）因为定义域为，的定义域为令()则，所以当时，为减函数；当时，为增函数，所以，则，所以故实数的取值范围为
