1、高三教学质量监测数学(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每一小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 集合,则A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】 , 选C.2. 设为虚数单位,则复数=A. B. C. D. 【答案】A【解析】= ,选A.3. 若是真命题,是假命题,则A. 是真命题 B. 是假命题C. 是真命题 D. 是真命题【答案】D【解析】试题分析:因为是真命题,是假命题,所以是假命题,选项A错误,是真命题,选项B错误,是假命题,选项C错误,是真命题,选项D正确,故选D.考点:真值表的应用.4. 在中,若,则A. B. C. D. 【答案】A【
2、解析】由正弦定理得 ,选A.5. 下列函数为偶函数的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析:是奇函数,则,故函数是奇函数,是非奇非偶函数,是偶函数,故答案为D.考点:函数奇偶性的判断.6. 函数y=sin(2x+)cos(x)+cos(2x+)sin(x)的图象的一条对称轴方程是A. x= B. x= C. x= D. x=【答案】C【解析】y=sin(2x+)cos(x)+cos(2x+)sin(x) =sin(2x+)cos(x)+cos(2x+)sin(x) ,所以x=是其一条对称轴方程,选C.7. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60
3、件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=.A. 9 B. 10 C. 12 D. 13【答案】D【解析】试题分析:甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120,80,60,甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6:4:3,丙车间生产产品所占的比例,因为样本中丙车间生产产品有3件,占总产品的,所以样本容量n=3=13考点:分层抽样方法视频8. 设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则以下结论正确的是A. 若m,n,则mn B. 若m,m,则C. 若mn,m,则n D. 若m,则m【答案】C【解析】
4、对于A, 若m,n,则m,n可能平行,相交或异面,错误;对于B, 若m,m,则,可能平行或相交,错误;对于C,若mn,m,则n,正确;.故选C.9. 如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由算法流程图知s0.选C.10. 设满足约束条件 ,则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】先作可行域,而表示两点P(x,y)与A(-6,-4)连线的斜率,所以的取值范围是,选B.点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到
5、直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11. 已知F1(3,0)、F2(3,0)是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的点,当F1PF2=时,F1PF2的面积最大,则有A. m=12,n=3 B. m=24,n=6 C. m=6,n= D. m=12,n=6【答案】A【解析】 P为短轴端点B时F1PF2的面积最大,此时 ,因此 ,选A.12. 设函数的定义域为,若满足条件:存在,使在上的值域为,则称为“倍缩函数”若函数为“倍缩函数”,则实数的取值范围是A. (,ln21) B. (,ln21C. (1ln2,+) D. 1ln2,+)【答案】C【解析】函数f(x)=lnx+t为
6、“倍缩函数”,且满足存在a,bD,使f(x)在a,b上的值域是,f(x)在a,b上是增函数; , 即 在(0,+)上有两根,即y=t和g(x)=lnx在(0,+)有2个交点, g(x)= ,令g(x)0,解得:x2,令g(x)0,解得:0x2,故g(x)在(0,2)递减,在(2,+)递增,故g(x)g(2)=1ln2,故t1ln2, 故选C:二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。13. 已知向量若为实数,则=_【答案】【解析】由题意得 ,所以 点睛:平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一,计算出这两个向量的坐标;第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数
7、量积为0即可2已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数14. 若在不是单调函数,则的范围是_【答案】【解析】试题分析:,由于函数在不是单调函数,因此,解得或.考点:函数单调性的应用.15. 如图所示,三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积(单位:cm2)等于_【答案】77【解析】几何体为一个三棱锥,高为h,底面为直角三角形,直角边长分别为5,6,所以 该几何体外接球的直径2R为以4,5,6为长宽高的长方体对角线长,因此 ,该几何体外接球的表面积等于 16. 已知函数,则的最小值是_【答案】【解析】
8、试题分析:化简:当时,函数取得最小值,最小值是考点:1三角函数的化简;2三角函数的值域三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17. 已知等比数列的各项为正数,且.(1)求的通项公式;(2)设,求证数列的前项和2【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析:(1)先根据条件列关于首项与公比的方程组,解出首项与公比,再代入等比数列通项公式即可,(2)先根据对数性质化简得,再根据裂项相消法求数列的前项和,最后根据n取值范围证不等式.试题解析:(1)设数列N的公比为q,9a32=a2a6,即9a22q2=a2a2q4,解得q2=9又q0,则q=3, a3=2a2+9,即9a1=6a1+9,解
9、得a1=3, (2)a1a2an=31+2+3+n=3, bn=log3a1+log3a2+log3an=log3(a1a2an)=, 2点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.18. 2017年6月深圳地铁总公司对深圳地铁1号线30个站的工作人员的服务态度进行了满意度调查,其中世界之窗、白石洲、高新园、深大、桃园、大新6个站的得分情况如下:地铁站世界之窗白石州高新园深大桃园大新满意
10、度得分7076727072x已知6个站的平均得分为75分.(1)求大新站的满意度得分x,及这6个站满意度得分的标准差;(2)从表中前5个站中,随机地选2个站,求恰有1个站得分在区间(68,75)中的概率【答案】(1)7(2)【解析】试题分析:(1)根据平均数定义可得x,再根据标准差公式求标准差;(2)先利用枚举法确定从5个站中随机地选2个站总事件数,再从中确定恰有1个站得分在区间(68,75)中事件数,最后根据古典概型概率公式求概率.试题解析:(1)由题意,得,解得.(2)前5个站中随机选出的2个站,基本事件有 (世界之窗,白石洲),(世界之窗,高新园),(世界之窗,深大),(世界之窗,桃园)
11、,(白石洲,高新园),(白石洲,深大),(白石洲,桃园),(高新园,深大),(高新园,桃园),(深大,桃园)共10种, 这5个站中,满意度得分不在区间(68,75)中的只有白石洲.设A表示随机事件“从前5个站中,随机地选2个站,恰有1个站得分在区间(68,75)中”,则A中的基本事件有4种, 则19. 如图,将一副三角板拼接,使他们有公共边BC,且使这两个三角形所在的平面互相垂直,BC=6.(1)证明:平面ADC平面ADB;(2)求B到平面ADC的距离.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1)先根据面面垂直性质定理得.再由,利用线面垂直判定定理得.最后根据面面垂直判定定理得结论,(2
12、)先根据等体积法求得,再根据锥体体积公式得高,即为B到平面ADC的距离.试题解析:(1)证明:因为,所以.又,所以. 又,且,所以.又,所以.(2)在中,得,在等腰中,得.由(1)知,所以,在中,得,又,设到面的距离为,由, 得,解得,即B到平面ADC的距离.20. 如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且,|BC|2|AC|(1)求椭圆E的方程;(2)在椭圆E上是否存点Q,使得?若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分
13、别为m、n,证明:为定值【答案】(1)(2)满足条件的点Q存在,且有两个(3)见解析【解析】试题分析:(1)依题意有,再根据几何条件得三角形AOC为等腰直角三角形,即得点C的坐标,代入椭圆方程可得,(2)先用坐标化简,得点Q在直线上,再根据直线与椭圆位置关系确定交点个数,即得满足条件的点Q个数,(3)设点,先利用两圆公共弦求切点弦MN方程,解得截距,根据点P在椭圆上化简,得定值. 试题解析:(1)依题意知:椭圆的长半轴长,则A(2,0),设椭圆E的方程为由椭圆的对称性知|OC|OB| 又,|BC|2|AC|ACBC,|OC|AC| AOC为等腰直角三角形,点C的坐标为(1,1),点B的坐标为(
14、1,1) , 将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得 所求的椭圆E的方程为 (2)设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则即点Q在直线上, 点Q即直线与椭圆E的交点,直线过点,而点椭圆在椭圆E的内部,满足条件的点Q存在,且有两个 (3)设点,由M、N是的切点知,,O、M、P、N四点在同一圆上, 且圆的直径为OP,则圆心为,其方程为, 即-即点M、N满足方程,又点M、N都在上,M、N坐标也满足方程-得直线MN的方程为,令得,令得,又点P在椭圆E上,即=定值.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.
15、 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.21. 设,曲线在点处的切线与直线垂直(1)求的值;(2)若对于任意的恒成立,求的取值范围【答案】(1)a=0(2)m1【解析】试题分析:(1)先求导数,再根据导数几何意义得f(1)=1,求得的值;(2)先分离变量 ,再利用导数研究函数单调性,最后根据洛必达法则求函数最大值,即得的取值范围试题解析:(1)f(x)= 由题设f(1)=1,a=0(2),x1,+),f(x)m(x1),即4lnxm(3x2)设g(x)=4lnxm(3x2),即x1,|+),g(x)0,
16、g(x)=m(3+)=,g(1)=44m 若m0,g(x)0,g(x)g(1)=0,这与题设g(x)0矛盾若m(0,1),当x(1,),g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(1)=0,与题设矛盾 若m1,当x(1,+),),g(x)0,g(x)单调递减,g(x)g(1)=0,即不等式成立 综上所述,m1 点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不
17、要使用分离参数法.22. 选修4-4,坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为=1,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为(1)求直线的直角坐标方程;(2)设M(x,y)为椭圆C上任意一点,求|x+y1|的最大值【答案】(1)(2)9【解析】试题分析:(1)根据 将直线极坐标方程化为直角坐标方程,(2)根据椭圆参数方程化简|x+y1|,再根据三角函数有界性以及绝对值定义确定函数最大值.试题解析:(1)根据题意,椭圆C的方程为+=1,则其参数方程为,(为参数); 直线l的极坐标方程为sin(+)=3,变形可得sincos+cossi
18、n=3,即sin+cos=3,,将x=cos,y=sin代入可得x+y6=0,即直线l的普通方程为x+y6=0; (2)根据题意,M(x,y)为椭圆一点,则设M(2cos,4sin),|2x+y1|=|4cos+4sin1|=|8sin(+)1|,分析可得,当sin(+)=1时,|2x+y1|取得最大值923. 选修4-5:不等式选讲设函数(1)当时,解不等式:;(2)若关于x的不等式f(x)4的解集为1,7,且两正数s和t满足,求证:【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析:(1)先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集,(2)先根据不等式解集得对应方程解求参数,再根据1的代换,利用基本不等式进行证明.试题解析:当a=2时,不等式:f(x)6|2x5|,可化为|x2|+|2x5|6 x2.5时,不等式可化为x2+2x56,x; 2x2.5,不等式可化为x2+52x6,x; x2,不等式可化为2x+52x6,x, 综上所述,不等式的解集为(; ()证明:不等式f(x)4的解集为a4,a+4=1,7,a=3, =()(2s+t)=(10+)6,当且仅当s=,t=2时取等号