1、2.2 函数的表示法(一)内 容 标 准学 科 素 养1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点2.在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数3.能利用函数图像求函数的值域，并确定函数值的变化趋势.加强逻辑推理提升数学运算增强直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 函数的表示法预习教材P2831，思考并完成以下问题某同学计划买 x(x1,2,3,4,5)支 2B 铅笔，每支铅笔的价格为 0.5 元，共需 y 元，于是y 与 x 之间建立起了一个函数关系(1)函数的定义域是什么？提示：1,2,3,4,5(2)
2、y 与 x 有何关系？提示：y0.5 x.(3)试用表格表示 y 与 x 之间的关系提示：表格如下：支数(x)12345钱数(y)0.511.522.5知识梳理函数的表示方法解析法：用表示两个变量 之间的对应关系图像法：用表示两个变量 之间的对应关系列举法：列出来表示两个变量 之间的对应关系自变量的解析表达式图像表格思考：1.任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不一定如一年内每天的气温与日期间的关系，每日股票的价格同开盘时间的关系等等，都不能用解析法表示提示：表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可以求任一点处的函数值不够形象、直观而且并非所有的函数都有解析式列表法不需
3、计算可以直接看出自变量对应的函数值仅能表示自变量取较少的有限的对应关系图像法 能形象直观地表示函数的变化情况只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大2你能说一下三种表示法各自的优缺点吗？3.如何判断一个图形是否可以作为函数的图像？提示：任取一条垂直于 x 轴的直线 l，在定义域上移动此直线，若直线 l 与图形只有一个交点，则是函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则不是函数的图像自我检测1下列各图像中，不可能是函数 yf(x)的图像的有()A1 个B2 个 C3 个D4 个解析：判断一个图像是否是函数图像，其关键是分析是否满足定义域内的任意一个 x，都有唯一确定的 y 与之对应故
4、可能是函数图像一定不是 yf(x)的图像答案：B2下列用图表给出的函数关系中，当 x6 时，对应的函数值 y()x0 x11x55x10 x10y1234A.2 B3 C4 D无法确定解析：5x10 时，y3，x6 时，y3.答案：B3已知 f(x)是正比例函数且过点(1,1)，则 f(x)_.解析：设 f(x)kx(k0)，由题意可知f(1)k1，f(x)x.答案：x探究一 函数的三种表示方法例 1 下列式子或表格：y2x，其中 x0,1,2,3，y0,2,4；x2y22；y x2 1x；x12345y9089888595其中表示 y 是 x 的函数的是_思路点拨 解答本题的关键是分析所给式
5、子或表格是否满足函数的定义解析 不表示 y 是 x 的函数，因为当 x3 时，y 没有值与其对应；不表示 y 是 x的函数，因为当 x1 时，y1，即 y 有两个值与 x 的值对应；不表示 y 是 x 的函数，因为原表达式中 x；能表示 y 是 x 的函数，因为该表格既满足函数概念中的确定性也满足唯一性答案 方法技巧 函数表示法的注意事项：(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义跟踪探究 1.某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台数 x 与收款数
6、y 之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来解析：(1)列表法：x(台)12345678910y(元)3 0006 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(2)图像法：如图所示：(3)解析法：y3 000 x，x1,2,3，10探究二 求函数的解析式例 2 求下列函数的解析式：(1)已知 f(x1)x2x1，求 f(x)；(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，求 f(x)；(3)已知 f(x)满足 2f(x)f1x 3x，求 f(x)思路点拨(1)用换元法(2)用待定系数法(3)用消元
7、法解析(1)令 x1t，则 xt1，f(t)(t1)2(t1)1t2t1，f(x)x2x1.(2)设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，a2，b7，f(x)2x7.(3)2f(x)f1x 3x把中的 x 换成1x，得 2f1x f(x)3x2得 3f(x)6x3x，f(x)2x1x.易错分析 本题(3)在求解过程中常因不理解“2f(x)f1x 3x”而找不到解题思路延伸探究(1)把例 2 的(1)换成 f(x1)x2 x，求 f(x)；(2)把例 2 的(3)换成 2f(x)f(x)3x，求 f(x)解析：(1)令 x1t，则
8、xt1(t1)，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)(2)用x 代 2f(x)f(x)3x 中的 x 得2f(x)f(x)3x，f(x)3x.方法技巧 求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系解答此类问题时，可根据已知条件选择不同的方法求解求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式(2)代入法：已知 f(x)的解析式，求 f(g(x)的解析式，其解法为用 g(x)替换 f(x)
9、解析式中的所有自变量 x.(3)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数 f(g(x)的解析式求 f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令 g(x)t，反解出 x，然后代入 f(g(x)中求出 f(t)，从而求出 f(x)(或将 f(g(x)的解析式转化为含 g(x)的表达式，然后直接整体代换 g(x)(4)方程组法：这种方法针对于特殊题型，如同时出现 f(x)和 f1x 或 f(x)时，需把 f(x)，f1x 或 f(x)分别看作一个整体，通过解方程组消去不需要的 f1x 或 f(x)，解出 f(x)的解析式，这种方法也称为消元法跟踪探究 2.(1)已知 f(x1)x23x2，求 f(
10、x)；(2)已知 fx1x x2 1x2，求 f(x)；(3)已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f(x)的解析式；(4)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)2f(x)3x2，求 f(x)解析：(1)令 x1t，则 xt1，将 xt1 代入 f(x1)x23x2，得 f(t)(t1)23(t1)2t25t6，f(x)x25x6.(2)fx1x x2 1x2x1x22，f(x)x22.(3)设所求的二次函数为 f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1，则 f(x)ax2bx1.f(x1)f(x)2x 对任意 xR 成立，a(x1)2b(x1)
11、1(ax2bx1)2x，即 2axab2x，由恒等式的性质，得2a2，ab0，a1，b1.所求二次函数为 f(x)x2x1.(4)因为对于任意的 x 都有 f(x)2f(x)3x2，将 x 替换为x 得 f(x)2f(x)3x2，联立方程组消去 f(x)，可得 f(x)3x23.探究三 函数的图像例 3 作出下列函数的图像并求其值域：(1)y1x(xZ)；(2)y2x24x3(0 x3)思路点拨 看函数的类型看函数的定义域描点、连线、成图解析(1)因为 xZ，所以函数图像为一直线上的孤立点(如图(1)，由图像知，yZ.(2)因为 x0,3)，故函数图像是一段抛物线(如图(2)，由图像知，y5,
12、3)方法技巧 函数的图像能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时常常借助于图像(1)作函数图像主要有三步：列表、描点、连线作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图像(2)函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈跟踪探究 3.作出下列函数的图像：(1)y2x1，x0,2；(2)y2x，x2，)解析：(1)当 x0 时，y1；当 x1 时，y3；当 x2 时，y5.图像过(0,1)，(1,3)，(2,5)点图像如图所示：(2)当 x2
13、 时，y1；当 x4 时，y12；当 x6 时，y13.图像如图所示：课后小结1如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系 f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域，主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)2如何作函数的图像一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线，作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式、再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点、端点的虚实问题等3如何用函数图像常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图
14、像交点问题素养培优忽略变量的实际意义而致误易错案例：如图所示，在矩形 ABCD 中，BA3，CB4，点 P 在 AD 上移动，CQBP，Q 为垂足设 BPx，CQy，试求 y 关于 x 的函数表达式，并画出函数的图像易错分析：从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义考查逻辑推理、直观想象的学科素养自我纠正：由题意，得CQBBAP，所以CQBACBBP，即y34x.所以 y12x.因为 BABPBD，而 BA3，CBAD4，所以 BD 32425，所以 3x5，故所求的函数表达式为 y12x(3x5)如图所示，曲线 MN 就是所求的函数图像.04 课时 跟踪训练
