1、 第三节导数与函数的极值与最值A组基础题组1.设函数f(x)在定义域R上可导,其导函数为f (x),若函数y=(1-x)f (x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)2.设函数f(x)=2x+ln x,则()A.x=12为f(x)的极大值点B.x=12为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点3.函数f(x)=12x2-ln x的最小值为()A.12 B
2、.1C.0 D.不存在4.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值为()A.37B.73C.-10D.-375.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为()A.-427,0 B.0,-427C.427,0 D.0,4276.若函数f(x)=2x2-ln x在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数k的取值范围是()A.1,+)B.1,32C.1,2) D.32,27.函数f(x)=xsin x+cos x在6,上的最大值为.8.已知f(x)是奇函数,当x(0,2)时,
3、 f(x)=ln x-axa12,当x(-2,0)时, f(x)的最小值为1,则a的值为. 9.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=ax+1ex,aR.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为-2,求函数f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)上无极值,求a的取值范围.B组提升题组10.已知函数f(x)=-x3+x2,x2时, f (x)0,此时f(x)为增函数;当0x2时, f (x)0.令f (x)0,得x1;令f (x)0,得0x1.f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,且f(1)=12-ln 1=12.4.D由题意知, f (x)=6x2-12x
4、,令f (x)=0,得x=0或x=2,当x2时, f (x)0,当0x2时, f (x)0,f(x)在-2,0上单调递增,在(0,2上单调递减,由条件知f(0)=m=3,f(2)=-5, f(-2)=-37,所求最小值为-37.5.C由题意知, f (x)=3x2-2px-q,由f (1)=0, f(1)=0得3-2p-q=0,1-p-q=0,解得p=2,q=-1,f(x)=x3-2x2+x,由f (x)=3x2-4x+1=0,得x=13或x=1,易得当x=13时, f(x)取得极大值427,当x=1时, f(x)取得极小值0.6.B由f (x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x=0,得
5、x=12x=-12舍去.当x0,12时, f (x)0,即函数f(x)在区间0,12上单调递减,在区间12,+上单调递增,所以x=12为函数f(x)的极值点.函数在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,即在区间(k-1,k+1)内有极值点,所以0k-112k+1,解得1k12,所以01a0,得x1a,所以f(x)在0,1a上单调递增;令f (x)1a,所以f(x)在1a,2上单调递减,所以当x(0,2)时, f(x)max=f1a=ln 1a-a1a=-1,所以ln 1a=0,所以a=1.9.解析因为f(x)=ax+1ex,所以f (x)=-ax+a-1ex.(1)依题意得f (0)=
6、a-1=-2,解得a=-1.所以f(x)=-x+1ex, f (x)=x-2ex.当x2时, f (x)0,函数f(x)为增函数;当x2时, f (x)0,函数f(x)为减函数.所以函数f(x)的最小值是f(2)=-1e2.(2)若a=0,则f (x)=-1ex0.此时f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件.若a0,令f (x)=0,得x=a-1a=1-1a.(i)若1-1a0,即0a1,则f (x)0在(0,1)上恒成立.此时f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件.(ii)若01-1a1,由f (x)0得x1-1a;由f (x)1-1a.此时, f(x)在0,1-1a上为增函数,在1-1
7、a,1上为减函数,不满足条件.(iii)若1-1a1,即a0,则f (x)0在(0,1)上恒成立.此时f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件.综上,a的取值范围为(-,1.B组提升题组10.解析(1)当x1时, f (x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f (x)=0,解得x=0或x=23.当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x(-,0)00,232323,1 f (x)-0+0-f(x)极小值极大值故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=23.(2)当-1x0时, f(x)在1,e上单调递增,则f(x)在1,e上的最大值为f
8、(e)=a.综上所述,当a2时, f(x)在-1,e上的最大值为a;当a1时, f(x)=1-xex0;当x0.若a1,由(2)可知f(x)的最小值为f(2), f(x)的最大值为f(a),所以“对任意x1,x2a,+),有f(x1)-f(x2)-1e2成立”等价于f(2)-f(a)-1e2,即-1e2-1-aea-1e2,解得a1,a=1.若a1,求出a的值显然大于1.所以a的最小值为1.解法二:当x1时, f(x)=1-xex0;当x0.由(2)可知, f(x)的最小值为f(2)=-1e2,若a1,令x1=2,x2a,1),则x1,x2a,+).而f(x1)-f(x2)0, f(x)单调递
9、增.所以当a0时, f(x)的单调递增区间为(-,+),没有极值点.若a0,令f (x)=0,得ex=a,解得x=ln a,所以在区间(-,ln a)上f (x)0, f(x)单调递增.所以当a0时, f(x)的单调递减区间为(-,ln a), f(x)的单调递增区间为(ln a,+),当x=ln a时,函数f(x)有极小值2a-aln a.(2)当a0时,由(1)可知, f(x)在(-,+)上单调递增,因为f(0)=1+a, f(1)=e0,令f(0)=1+a0,得a-1,所以当a0时,由(1)可知,x=ln a为函数f(x)的最小值点,因为f(0)=1+a0,若函数f(x)在区间(0,2上存在唯一零点,则只能:f(lna)0,02,由得a=e2,由得ae2.综上所述,若函数f(x)在区间(0,2上存在唯一零点,则a-1或ae2.
