1、万有引力与航天二、例题【例1】质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。图4-10-4现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求（1）转移所需的最少能量；（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化各为多少？解: （1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为，乃有 故得 此时飞船的动能和引力势能分别为所以飞船在2R轨道上的机械能为同理可得飞船在4R轨道上的机械能E2 以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即
2、 （2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为 同样可得飞船4R轨道上运行的速度为 设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为。则由开普勒第二定律可得 又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有联立以上两式解之可得故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为【例2】新发现一行星，其星球半径为6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km。学者们对该行星进行探查时发现。当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求这个行星表面处的自由落体加速度。已知万有引力常数为。解1：如图3-6-2以R
3、表示此星球（包括水层）的半径，M表示其质量，h表示其表层海洋的深度，r表示海洋内任一点A到星球中心O的距离，表示除表层海洋外星球内层的半径。则有，且，以表示水的密度，则此星球表层海洋中水的总质量为由于，故式可略去其中h的高次项面是近似写为根据均匀球体表面处重力加速度的公式，R0RrAOh图3-6-2可得此星球表层海洋的底面和表面处的重力加速度分别为依题述有,即整理上式可解得由于，故近似取2Rh-,则式可写为由和式得此星球表面的重力加速度为以G=、代入式，得解2：设行星的内层（即半径为的球体部分）的平均密度为，则可将该半径为的球体视为由一个均匀的水球（密度为、半径为）和一个密度为半径为的球叠加而成。则在水球壳层内的重力加速度应由这两个球分别产生的加速度叠加而成。如图3-6-2，对于水球壳层中的任一点A，以表示上述水球在该处形成的重力加速度，则有由上式可见，随r的增加而增加，当r增加为r+r时，的增加量为又以表示上述的密度为的球在A点产生的重力加速度，则有由上式可见，随r的增加而减少，当r增加为r+r时，的增加量（为一负值，表明其实际上是减少）为上式演算中利用了近似关系。由于要求在水层内重力加速度g为恒量，即不随r变化而变化，故应有即近似取r=，乃得则行星内层密度为由上可得此行星内外两层分界面处的重力加速度（亦即行星表面处的重力加速度）为三、课后练习45
