1、第2课时分段函数学 习 任 务核 心 素 养1了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象(重点，难点)2能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题(重点、难点)1通过分段函数求值问题培养数学运算素养2利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.设x为任意实数，y是不超过x的最大整数，填写下表x6.3551.52y6(1)y是关于x的函数吗？(2)当1x1时，y与x的关系如何表示？知识点分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数分段函数是一个函数还是几个函数？提示分段函数是一个函数，而不是几个函数分段函数是一个函数，其定
2、义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)分段函数由几个函数构成()(2)函数f(x)是分段函数()答案(1)(2)2.下列给出的式子是分段函数的是()f(x)f(x)f(x)f(x)ABCDB结合分段函数的定义可知是分段函数，中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B. 类型1分段函数的求值问题【例1】已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，f的值；(2)若f(a)3，求实数a的值解(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f 1，而22，不合题意，舍去当2a2时，a22a3
3、，即a22a30.(a1)(a3)0，解得a1或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意当a2时，2a13，即a2符合题意综上可得，当f(a)3时，a1或a2.1分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内1函数f(x)则f(7)_.8函数f(x)f(7)f(f(12)f(9)f(f(14)f(11)8. 类型2分段函数的图象及应用
4、【例2】(对接教材P68例题)已知函数f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即f(x)和g(x)中的较小者)(1)分别用图象法和解析式表示(x)；(2)求函数(x)的定义域，值域解(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图.由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图.令x22x，得x2或x1.结合图，得出(x)的解析式为(x)(2)由图知，(x)的定义域为R，(1)1，(x)的值域为(，1分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2
5、)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏2已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域解(1)当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x，f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3) 类型3分段函数的实际应用【例3】如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至
6、右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解解过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm.(1)当点F在BG上，即x0,2时，yx2；(2)当点F在GH上，即x(2,5时，y22x2；(3)当点F在HC上，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210
7、.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y图象如图所示分段函数的建模(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象解设票价为y元，里程为x公里，定义
8、域为(0,20由题意得函数的解析式如下：y函数图象如图所示：1已知函数f(x)则f(3)的值是()A1B2 C8 D9Af(3)321.2函数f(x)|x1|的图象是()ABC DBf(x)|x1|故选B.3函数y的值域是_答案0，)4函数yf(x)的图象如图所示，则其解析式为_f(x)当0x1时，设f(x)kx，又过点(1,2)，故k2，f(x)2x；当1x2时，f(x)2；当x2时，f(x)3.综上f(x)回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何求分段函数的定义域和值域？提示分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集2画分段函数的图象应注意哪些问题？提示分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象3分段函数求值的关键是什么？提示分段函数求值的关键是找准自变量所在的区间
