1、首都师大附中20192020学年第二学期期末考试高二数学考试说明：1.本考试共三大题，18小题，满分120分，考试时间为2020年7月1日14：00-15：30，共90分钟；2.请考生打印试卷，并在规定答题区域内作答：填空题在题末方框内横线处作答，解答题在题末每题对应的方框内作答.若不便打印，请准备空白A4纸3张，标明题号后作答：将填空题作答在一面，4道解答题各一面，其中立体几何解答题请自行画图；3.考试结束后，考生立即停止作答，之后考生有30分钟的时间将答案拍照上传至慕课平台，上传规则如下：选择题和填空题在“期末考试高二数学选择填空”域内作答，选择题请根据题号和题目勾选选项，填空题请将答题区
2、拍照上传；解答题请将答题区拍照，并上传至对应题目的区域.请务必保证图片清晰没有重影，位置放正，不合要求的图片对应的题目得分一律记零分.第卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 已知集合 ， ，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式，化简集合，求出，再和求交集，即可得出结果.【详解】由得或，则或，因此；又，则.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2. 设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由全称命题的否定
3、规则即可得解.【详解】因为命题为全称命题，所以为.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题.3. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性和奇偶性，逐项判断即可得解.【详解】对于A，函数为偶函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，所以该函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C，函数在整个定义域内不单调，故C错误；对于D，函数，所以该函数为奇函数且单调递增，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，考查了运算求解能力，属于基础题.4. “”是“函数在区间上有零点”的（ ）A. 充分
4、不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及函数零点的存在性定理求解即可.【详解】当时，函数在上递增，则，所以函数在有零点.反之，当在上有零点时，则只需满足，解得或.故”是“函数在区间上有零点”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查函数零点的存在性定理的运用，较简单.5. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表；为的导函数，函数的图象如下图所示.若实数a满足，则a的取值范围是（ ）x0411A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用
5、导函数的符号与函数单调性的关系得到的单调性，结合函数的单调性即可求得a的取值范围.【详解】由导函数的图象知：时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，可得：，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.6. 已知函数，若，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意作出与的图象，由图分析，当时，当时，.【详解】因为，所以与图象如下： 由图可知：当时，当时，也即时，.故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，考查分段函数的作图，以及函数恒成立问题，考查导数的几何意义，属于难
6、题.7. 当时，函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，解得，即或，函数有两个零点，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数一个极大值点，不成立，排除，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.8. 已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i），
7、；（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对的个数为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解.【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A只有一个元素时，集合B中有四个元素，且，故，共计1种；（2）当集合A有两个元素时，集合B中有三个元素，且，故可能结果为：，；，；，共计3种；（3）当集合A有三个元素时，集合B中有两个元素，且，故可能结果为：，；，；，共计3种；（4）当集合A中有4个元素时，集合B中有1个元素，且，故，共计1种所以有序集合对的个数为.故选：B.【点睛】本题考查了
8、根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.第卷（共80分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据定义域的求法：（为偶数）、【详解】由题意得【点睛】常见函数定义域的求法：（为偶数）10. 函数的值域是_.【答案】【解析】【分析】由题意令，进而可得，由二次函数的性质即可得解.【详解】函数，令，则，则，所以是抛物线的对称轴，且开口向上，所以在时函数单调递增，最小值在处取得，为，因而的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数值域的求解，考查了换元法的应用及运算求解能力，属于基础题.11. 已知函数是定义
9、在R上的周期为2的奇函数，当时，则_.【答案】【解析】【分析】由函数是定义在R上的周期为2的奇函数，可得，再结已知函数关系可得答案【详解】解：因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以，因为当时，所以，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题12. 函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由偶函数的性质可得在上递减，由可得，从而可得，进而可求出a的取值范围【详解】解：因为函数是R上的偶函数，且在上是增函数，所以在上递减，因为函数是R上的偶函数，所以，所以解得或所以a的取值范围为【点睛】此题考查偶函数的性质的应
10、用，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题13. 函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，则中有_个元素.【答案】4【解析】分析】由函数的图象转化条件得，再由并集的定义即可得解.【详解】由图象可得，若，则或或，所以或或或，所以；若，则或，所以或或，所以；所以，共4个元素.故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的表示及集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 已知函数的定义域为R.若存在常数，对，有，则称函数具有性质P.给定下列三个函数：；.其中，具有性质P的函数的序号是_.【答案】【解析】【分析】由新定义，结合三角恒等变换、指数函数的单调性及
11、一元二次不等式的知识，代入计算即可得解.【详解】对于，若，则，所以，即，因为为常数，所以不恒成立，所以不恒成立，故错误；对于，因为，函数单调递增，所以，所以恒成立，故正确；对于，若，则，化简可得，当即时，恒成立，即恒成立，故正确.故答案为：.【点睛】本题以全称命题为依托，综合考查了三角恒等变换、指数函数的单调性及一元二次不等式的知识，属于中档题.三、解答题（本大题共4小题，共50分）15. 已知，函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围.【答案】（1）在和上递增，在上递减；（2）【解析】【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的
12、单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当时，则，令，得或，令，得，所以在和上递增，在上递减；（2），令，若函数在上单调递减，则在上恒成立，则，解得，所以a的取值范围为，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题16. 在四棱锥的底面ABCD中，平面ABCD，O是AD的中点，且（1）求证：平面POC；（2）求二面角余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，证明即得证；（2）以O为原点，OB、OD和OP分别为x、y和z轴建立如图所示的
13、空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值【详解】证明：连接OC，是AD的中点，又，四边形ABCO为平行四边形，面POC，面POC，面POC解：是AD的中点，又，四边形OBCD为平行四边形，平行四边形OBCD为矩形，平面ABCD，OB、面ABCD，以O为原点，OB、OD和OP分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0，0，1，1，0，1，0，设平面OPC的法向量为y，则，即，令，则，同理可得，平面BPC法向量2，由题可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.17. 已
14、知函数，在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值，有，求实数c最小值；（3）过点，只能作曲线的一条切线，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）由题意利用导数的几何意义即切点坐标列方程，即可求解；（2）由题意，对于定义域内任意两个自变量有，可转化为求函数在定义域内的最值即可求解；（3）由题意，过点，只能作曲线的一条切线，等价于函数在切点处的导函数值等于切线的斜率这一方程由1解.【详解】（1），由题意得：，即，解得：，所以.（2）令，得，所以在和单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，单调递增，所以，对于区间上任意
15、两个自变量的值，有，所以，c最小值为.（3）因为点不在曲线上，所以可以设切点为，则，因为，所以切线的斜率为，则，即，因为过点，只能作曲线的一条切线，所以方程有1个实数解，所以有1个零点，则，由，得或，由，得，所以在处取得极大值，在处取得极小值，若有1个零点，则或，解得：或【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求单调区间、极值和最值，考查了等价转化的思想，考查了函数与方程的相关知识，属于中档题,18. 已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，方程有实数根；函数的导数满足.（1）判断函数是集合M中的元素，并说明理由；（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意，
16、都存在，使得等式成立.试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；（3）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，当，且时，.【答案】（1）是，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）判断函数是否满足条件；（2）利用反证法进行证明，假设方程有存在两个实数根，然后寻找矛盾，从而肯定结论；（3）构造函数，研究函数的单调性，从而得到，再利用绝对值不等式即可得证.【详解】（1）函数是集合M中的元素，理由如下， ，令，图象如图，与的图象在有一个交点，所以方程有实数根；，所以，满足条件，所以函数是集合M中的元素.（2）假设方程存在两个实数根，且，则，不妨设，根据题意存在，满足，因为，所以，与已知矛盾，又方程有实数根，所以方程有且只有一个实数根.（3）当时，结论显然成立；当时，不妨设，因为，且，所以是增函数，那么，又因为，所以为减函数，所以，所以，即，因为，所以，又因为，所以，+得，即，所以，综上所述，对于任意符合条件的，总有成立.【点睛】本题考查了导数的运算，反证法，以及不等式的证明，函数的性质和不等式的证明是本题的主要考查点，考查学生的理解能力和分析能力，读懂题意是解本题的前提.
