1、10.3二项式定理 知识梳理1二项式定理2二项式系数的性质3常用结论(1)CCCC2n.(2)CCCCCC2n1.(3)C2C3CnCn2n1.(4)CCCCCCC.(5)(C)2(C)2(C)2(C)2C.诊断自测1概念思辨(1)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项(ab)2n中系数最大的项是第n项()(3)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同()(4)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修A2
2、3P30例1)6的展开式的常数项为()A192x2 B240x C160 D.答案C解析6的展开式的通项为Tr1C(2)6rr(1)r26rCx3r(r1,2，6)，所以当r3时为常数项，此时T423C160，故选C.(2)(选修A23P31例2)二项式10的展开式中系数最大的项为()A第六项 B第五项和第六项C第五项和第七项 D第六项和第七项答案C解析二项展开式的通项为Tr1Cx10r(x)r(1)rCx10r，每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C，但第六项系数为C，显然不是最大的又因第五项和第七项的系数相等且为CC，再由二
3、项式系数的增减性规律可知选C.3小题热身(1)(2017全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40 C40 D80答案C解析因为x3y3x(x2y3)，其系数为C2240，x3y3y(x3y2)，其系数为C2380.所以x3y3的系数为804040.故选C.(2)(2017山东高考)已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n_.答案4解析(13x)n的展开式的通项为Tr1C(3x)r.令r2，得T39Cx2.由题意得9C54，解得n4. 题型1二项展开式角度1求二项展开式中的特定项或系数(2016全国卷)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写
4、答案)答案10解析Tr1C(2x)5r()r25rCx5，令53，得r4，T510x3，x3的系数为10.角度2已知二项展开式某项的系数求参数(2015湖南高考)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a()A. B C6 D6答案D解析5的展开式的通项为Tr1C()5rr(a)rCx.依题意，令52r3，得r1，(a)1C30，a6，故选D.角度3多项展开式(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60答案C解析(x2xy)5(x2x)y5的展开式中只有C(x2x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为CC30，故选C.方法技巧1求二项展开式
5、中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk1项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项得所求见角度1典例2求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解见角度3典例(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏见冲关针对训练2.(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中
6、分别得到符合要求的项，再求和即可冲关针对训练1(2014湖北高考)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a()A2 B. C1 D.答案C解析Tr1C(2x)7rr27rCar.令2r73，则r5.由22Ca584得a1，故选C.2(2014全国卷)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)答案20解析由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为xCxy7yCx2y6，故(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为CCCC82820.题型2二项式系数的性质或各项系数的和(2015湖北高考)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(
7、)A212 B211 C210 D29答案D解析(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C，C，CC，得n10.对(1x)10，令x1，得(11)10CCCCC210，令x1，得(11)10CCCC0，利用可得2(CCC)210，奇数项的二项式系数和为CCC29.故选D.已知n的展开式中前三项x的系数为等差数列，则二项式系数最大项为_答案x解析C1，C，C2n(n1)，由题设可知21n(n1)，n29n80，解得n8或n1(舍去)所以二项式系数的最大项为C4x.结论探究典例2中条件不变，试求展开式中系数最大的项解设第r1项的系数Tr1最大，显然Tr10，故有1且1，由1，得r3.又
8、，由1，得r2.r2或r3，所求项为T37x和T47x.方法技巧1赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立因此，可将a，b设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，1或0”，有时也取其他值如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可见典例1.2二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f
9、(1)(2)奇数项系数之和为a0a2a4.(3)偶数项系数之和为a1a3a5.冲关针对训练1设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5 B6 C7 D8答案B解析由题意得aC，bC，所以13C7C，13，解得m6，经检验为原方程的解，故选B.2若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析解法一：(通法)将f(x)x5进行转化，利用二项式定理求解f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tr1C(1x)5r(1)r，T3C(
10、1x)3(1)210(1x)3，a310.解法二：(赋值法)对等式f(x)x5a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5两边连续对x求导三次得：60x26a324a4(1x)60a5(1x)2，再令x1得606a3，即a310.题型3二项式定理的应用(1)求证：nN且n3时，2n1n1；(2)求证：32n28n9(nN*)能被64整除；(3)计算1.056.(精确到0.01)解(1)证明：n3时，2n(11)n1nCn122n，2n1n1.(2)证明：原式(18)n18n91C81C82C8n18n9C82C83C8n164(CC8C8n1)C，C，C均为自然数，上式各项均为64的整数倍，3
11、2n28n9(nN*)能被64整除(3)1.056(10.05)6160.05150.05210.30.03751.34.方法技巧二项式定理应用的常见题型及求解策略1整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项见本典例(2)2二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式3(ab)n的展开式共有n1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，达到证明不等式的目的见本典例(1)4利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1x)n1nxx2.见本典
12、例(3)冲关针对训练190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87答案B解析190C902C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.故选B.1(2017全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为()A15 B20 C30 D35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxr，所以(1x)6展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6展开式中x2的系数为30.故选C.2(2018山西四校联考)若n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于()A3
13、B4 C5 D6答案C解析Tr1C(x6)nrrCx6nr，当Tr1是常数项时，6nr0，即nr，又nN*，故当r4时，n的最小值为5，故选C.3(2018福建漳州模拟)已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，则a2a3a9a10的值为()A20 B0 C1 D20答案D解析令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C21(1)920，所以a2a3a9a1020.故选D.4(2017浙江高考)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_.答案164解析a4是x项的系数，由二项式的展开式
14、得a4CC2CC2216；a5是常数项，由二项式的展开式得a5CC224. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018广东测试)6的展开式中，常数项是()A B. C D.答案D解析Tr1C(x2)6rrrCx123r，令123r0，解得r4.常数项为4C.故选D.2(2018福建厦门联考)在10的展开式中，x2的系数为()A10 B30 C45 D120答案C解析因为1010(1x)10C(1x)9C10，所以x2只出现在(1x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C45.故选C.3已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3 C2 D1答案D解析由二项式定
15、理得(1x)5的展开式的通项为Tr1Cxr，所以当r2时，(1ax)(1x)5的展开式中相应x2的系数为C，当r1时，相应x2的系数为Ca，所以CCa5，a1，故选D.4(2018河南百校联盟模拟)(32xx4)(2x1)6的展开式中，含x3项的系数为 ()A600 B360 C600 D360答案C解析由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x3项的系数为3C23(1)32C22(1)4600.故选C.5若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为()A40 B20 C20 D40答案D解析令x1，得(1a)(21)52，a1.5的通项为Tr1C(2x)5rr(1)r25rCx52r.
16、令52r1，得r2.令52r1，得r3.展开式的常数项为(1)223C(1)322C804040.故选D.6在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A7 B7 C28 D28答案B解析由题意知n8，Tr1C8rr(1)rC(1)rC，由8r0，得r6.T7C7，即展开式中的常数项为T77.故选B.7(2018石家庄模拟)若9(aR)的展开式中x9的系数是，则sinxdx的值为()A1cos2 B2cos1 Ccos21 D1cos2答案A解析由题意得Tr1C(x2)9r(1)rr(1)rCx183r，令183r9，得r3，所以C，解得a2.所以sinxdx(cosx
17、)cos2cos01cos2.故选A.8设aZ，且0a13，若512018a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12答案D解析512018a(521)2018a522018C522017(1)C52(1)20171a，522018能被13整除，只需a1能被13整除即可，a12.故选D.9(2018合肥质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为()A1或3 B1或3C1 D3答案A解析令x0，得到a0a1a2a9(2m)9，令x2，得到a0a1a2a3a9m9，所以有(2m)9m939，即m22m3，解得m
18、1或m3.故选A.10(2017淮北模拟)已知在n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有()A5项 B4项 C3项 D2项答案C解析Tr1CxrCrx，由第6项为常数项 ，得当r5时，0，得n10.令kZ，则102r3k，即r5k，故k应为偶数又0r10，故k可取2,0，2，即r可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.二、填空题11(2014安徽高考)设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则a_.答案3解析根据题意知a01，a13，a24，结合二项式定理得即解得a3.12若6的展
19、开式中x3的系数为20，则a2b2的最小值为_答案2解析因为二项式6展开后第k项为C(ax2)7kk1Ca7kbk1x153k，所以当k4时，可得x3的系数为20a3b3，即20a3b320，得ab1.故a2b22ab2，当且仅当ab1时等号成立，此时a2b2取得最小值2.13在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.答案120解析(1x)6展开式的通项公式为Tr1Cxr，(1y)4展开式的通项公式为Th1Cyh，(1x)6(1y)4展开式的通项可以为CCxryh.f(m，n)CC.f(3,0)f(2,1)f(1,
20、2)f(0,3)CCCCCC2060364120.14(2017江西赣州十四县联考)若n的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A9(CB)，则展开式中x2的系数为_答案解析易得A1，B，C，所以有49，即n27n80，解得n8或n1(舍)在8中，因为通项Tr1Cx8rrx82r，令82r2，得r3，所以展开式中x2的系数为.三、解答题15(2018三亚模拟)已知fn(x)(1x)n.(1)若f2019(x)a0a1xa2019x2019，求a1a3a2017a2019的值；(2)若g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数解(1)因为fn(x)(1x)n，
21、所以f2019(x)(1x)2019，又f2019(x)a0a1xa2019x2019，所以f2019(1)a0a1a201922019，f2019(1)a0a1a2017a20190，得2(a1a3a2017a2019)22019，所以a1a3a2017a201922018.(2)因为g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x)，所以g(x)(1x)62(1x)73(1x)8.g(x)中含x6项的系数为C2C3C99.16已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)因为CC2C，所以n221n980，得n7或n14.当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470.当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数为C7273432.(2)CCC79，n2n1560，n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，解得k.kN，k10，展开式中系数最大的项为T11，T11C2210x1016896x10.
