1、2018-2019学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1已知集合A=y|y=2x+1，B=x|x2x20，则（RA）B=（）A（1，1B1，1）C（2，1D（2，1）【考点】集合的运算，指数函数的性质，一元二次不等式【解析】集合A=y|y=2x+1=y|y1=（1，+），B=x|x2x20=x|1x2=（1，2），则RA=（，1，（RA）B=（1，1故选：A2下列函数中，既是偶函数，又在（0，+）上单调递减的为（）Ay=ln
2、（3x2）By=cosxCy=x2D【考点】函数的奇偶性、单调性，对数函数，余弦函数，指数函数，幂函数的图象【解析】对于A：y=ln（3x2）其定义域满足，3x20，可得（，），在（0，+）上不是单调递减；A不对；对于B：y=cosx，根据余弦函数的性质可知，是周期函数，在（0，+）上不是单调递减；B不对；对于C：y=x2，是偶函数，根据幂函数的性质可得20，在（0，+）上单调递减；C对；对于D：y=是偶函数，因为y=在（0，+）上单调递减；那么y=是递增函数：D不对；故选：C3下列不等式：；（a，b，m0且ab）其中恒成立的个数为（）A1B2C3D4【考点】不等式的性质，基本不等式，命题的真
3、假判断【解析】对于，若a=1，b=1，满足ab，则，则不恒成立；对于，若x0，则x+2；若x0，则x+2，则不恒成立；对于，由ba0c，可得=c（0，则恒成立；对于，由a，b，m0且ab，=0，则（a，b，m0且ab）恒成立故选：B4已知函数f（x）=，若f（f（0）=3a，则f（log3a）=（）A2B3C4D15【考点】分段函数，指数运算，对数运算【解析】函数f（x）=，f（0）=30+1=2，f（f（0）=3a，f（f（0）=f（2）=a222=3a，解得a=2，f（log3a）=f（log32）=+1=3故选：B5函数y=sinx的部分图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象与图象的变
4、换【解析】函数y=sinx是奇函数，排除D，当x=e2时，y=sin0，x=1时，y=sin10，只有选项A满足题意故选：A6在ABC中，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则=（）ABCD【考点】平面向量的三角形法则【解析】如图，O为AD的中点，=，则=故选：B7若函数f（x）=e2xax2+1在1，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）A，+）B（，+）C，+）D（，+）【考点】函数的导数及其应用，恒成立问题【解析】f（x）=2e2x2ax，若f（x）在1，2上是减函数，则e2xax0在1，2上恒成立，即a在1，2上恒成立，令h（x）=，x1，2，h（x）=0，故h（x）在1，2递增，
5、故h（x）max=h（2）=，故a，故选：C8已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0），其导函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）ABCD【考点】三角函数的图象及其性质，函数的导数【解析】函数f（x）=Asin（x+），则导函数f（x）=Acos（x+），由f（x）的部分图象知A=2，T=2（+）=，=2，A=1；由五点法画图知，x=时f（x）取得最大值，2+=0，解得=；函数f（x）=sin（2x）故选：A9已知a，b为正数，直线y=x2a+1与曲线y=ex+b1相切，则的最小值为（）A9B7CD【考点】函数导数的几何意义，基本不等式【解析】a，b为正数，直线
6、y=x2a+1与曲线y=ex+b1相切，设切点为（m，n），由y=ex+b1的导数y=ex+b，可得切线的斜率为em+b=1，n=m2a+1=em+b1，化为2a+b=1，则=（2a+b）（）=3+3+2=3+2，当且仅当b=a时，上式取得等号，可得的最小值为3+2故选：D10如函数在区间（，）上是增函数，则的取值范围是（）A（0，B（0，1C（0，D（0，2【考点】正弦函数的图象及其性质。【解析】函数在区间（，）上是增函数，kZ解得：0，令k=0，可得：01故选：B11定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=f（x+2）；f（x+1）图象关于点（1，0）对称；f（2）=2则f（2）+f（
7、4）+f（6）+f（8）+f（10）+f（2018）=（）A2B1C1D2【考点】抽象函数，函数的奇偶性，周期性【解析】函数y=f（x+1）的图象关于点（1， 0）对称，可得f（x）的图象关于原点对称，即f（x）=f（x），函数y=f（x）满足对任意xR都有f（x+2）=f（x+2）成立，f（x+4）=f（x）=f（x），f（x+8）=f（x+4）=f（x），函数f（x）的周期为8，函数f（x）为奇函数，f（0）=0，f（4）=0，f（2）=2，f（2）=f（2）=2，f（2）=2，f（6）=f（2）=2，f（8）=0，则f（2）+f（4）+f（6）+f（8）+f（10）+f（2018）=50
8、4（2+0+2+0）+（2）+0=2故选：D12已知定义在（，0）上的函数f（x），其导函数记为f（x），若成立，则下列正确的是（）Af（e）e2f（1）0BCe2f（e）f（1）0D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】，x1时，2f（x）xf（x）01x0时，2f（x）xf（x）0构造函数g（x）=，g（x）=，x1时，g（x）0；1x0，g（x）0g（e）g（1），化为：f（e）e2f（1）0故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13若向量=（1，2），=（x，2），且，则=5【考点】平面向量数量积的坐标表示、模
9、、夹角【解析】；x=4；故答案为：514设x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是7【考点】简单线性规划【解析】由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（4，3），化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为7故答案为：715已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=b，则的取值范围为（0，）【考点】正弦定理【解析】锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=b，2A+C=，由正弦定理可得：=，C（0，），可得：2A=C（，），可得：A（，），cosA（0，），可得：=2cosA（0
10、，）故答案为：（0，）16设a，b（0，1）（1，+），定义运算：，则以下四个结论：（24）8=8（42）；8（42）（84）2（28）4；（42）=（24）4（28）4；其中所有正确结论的序号为【考点】命题的真假判断与应用【解析】对于，24=log24=2，42=log24=2，（24）8=28=log28=3，8（42）=82=log28=3，（24）8=8（42），正确；对于，8（42）=3，84=log48=，（84）2=2=2，28=log28=3，（28）4=34=log34）=2，322，8（42）（84）2（28）4，正确；对于，42=2，（24）4=2，（28）4=log34
11、，（42）=（24）4（28）4，错误；对于，=，2=2，（）（2）=2=20，（）+（2）=+20，错误综上，所有正确结论的序号为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为（1）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x（，）时，求函数g（x）的值域【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【解析】（1）函数=s
12、in2x+=sin（2x+）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=，=1，f（x）=sin（2x+）+令2x+=k+，求得x=+，故函数f（x）的对称轴方程为得x=+，kZ（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，可得y=sin（2x+）+=sin（2x）+的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（4x）+的图象当x（，）时，4x（，），sin（4x）（1，1，故函数g（x）的值域为（，18（12分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（sinA+sinC，sinB），=（cb，ca），且
13、（1）求角A的大小；（2）若a=3，b+c=5，求ABC的面积【考点】余弦定理【解答】（本题满分为12分）解：（1）向量=（sinA+sinC，sinB），=（cb，ca），且由题意结合向量共线可得：（sinA+sinC）（ca）=sinB（cb），由正弦定理可得（a+c）（ca）b（cb）=0，3分整理可得：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=，5分A为三角形的内角，A=60；6分（2）由余弦定理可得b2+c29=bc，（b+c）29=3bc，9分解得：bc=，10分ABC的面积S=bcsinA=12分19（12分）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2+1，g（x）=x22mx
14、+4（1）当a0时，求曲线y=f（x）的切线斜率的取值范围；（2）当a=4时，若存在x10，1，x21，2，满足f（x1）g（x2），求实数m的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）函数f（x）=aln（x+1）+x2+1的定义域为（1，+），f（x）=+2x=22，当且仅当即x=（1，+）时取“=”所以函数y=f（x）图象上任一点处切线斜率的取值范围为2，+）（2）函数f（x）=4ln（x+1）+x2+1（x1），f（x）=+2x=，当x0，1时，f（x）0，f（x）为减函数，所以f（x）在0，1上最大值为f（0）=1，因为存在x10，1，x21，2，使f（x1）g（x
15、2），所以只要f（x）在x0，1上的最大值大于等于g（x）在x1，2的最小值即可，只要g（1）1或g（2）1，即12m+41或44m+41，解得m20（12分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为100m的扇形土地OAB上建造市民广场规划设计如图：矩形EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）区域为运动休闲区，OAB区域为文化展示区，其余空地为绿化区域，已知P为圆弧AB中点，OP交AB于M，cosPOB=，记矩形EFGH区域的面积为Sm2（1）设POF=（rad），将S表示成的函数；（2）求矩形EFGH区域的面积S的最大值【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由题意可
16、知：OF=OB=100，OM=OBcosPOB=100=35，故矩形EFGH中， EF=2OFsinPOF=200sin，FG=OFcosPOFOM=100cos35，故S=EFFG=200sin（100cos35）=1000sin（20cos7），即所求的函数关系式是S=1000sin（20cos7），（0POB）；（2）f（）=1000cos（20cos7）+1000sin（20sin）=1000（40cos27cos20），由f（）=0，即40cos27cos20=0，解得cos=或cos=，因为0POB，所以coscosPOB，所以cos=，设cos0=，且00POB，则当（0，0）时
17、，f（）0，f（）是增函数，当（0，+）时，f（）0，f（）是减函数，所以当=0时，即cos=，f（）取得最大值，此时S有最大值为5400m3，即矩形EFGH区域的面积S的最大值5400m321（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）求函数的零点个数【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）f（x）=（x+1）（ex+a），a0时，x（，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，故f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，a0时，由f（x）=0，解得：x=1或x=ln（a），若a=，则ln（a）=1，f（x）0恒成立，故f（x）在R递增，若a0，则ln（a）1，故x（，l
18、n（a）（1，+）时，f（x）0，当x（ln（a），1）时，f（x）0，故f（x）在（ln（a），1）递减，在（，ln（a），（1，+）递增；若a，则ln（a）1，当x（，1）（ln（a），+）时，f（x）0，当x（1，ln（a）时，f（x）0，故f（x）在（1，ln（a）递减，在（，1），（ln（a），+）递增，综上，当a0时，f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，当a0时，f（x）在（ln（a），1）递减，在（，ln（a），（1，+）递增，当a=时，f（x）在R递增，当a时，f（x）在（1，ln（a）递减，在（，1），（ln（a），+）递增；（2）由已知得F（x）=，令g（x）=xex
19、a（x0），g（x）=（x+1）ex0，故g（x）在（0，+）递增，则g（x）g（0）=a，故a0或a=e时，F（x）在y轴两侧各有1个零点，共2个零点，当a=0时，a（x+1）恒为0，F（x）有无数个零点22（10分）已知函数f（x）=|xa|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）2的解集；（2）若x1，2时不等式f（x）2成立，求实数a的取值范围【考点】不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法【解析】（1）函数f（x）=|xa|x2|，当a=3时，f（x）=|x+3|x2|=；则x3时，不等式f（x）2化为52，x3；3x2时，不等式f（x）2化为2x+12，3x；x2时，不等式f（x）2化为52，x；综上，不等式的解集为x|x；（2）x1，2时不等式f（x）2成立，即|xa|x2|2成立，等价于|xa|2+|x2|成立；|xa|4x，x4xa4x，即2x4a4；又y=2x4在1，2上的最小值为2，实数a的取值范围是2a4
