1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,正确的是()A.复数的模总是正实数B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C.若与复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定会在第一象限D.相等的向量对应着相等的复数答案D解析复数的模大于或等于0,因此A不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,因此B不对;同理C也不正确,D正确,因此选D.2.化简的结果是()A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i答案C解析=2-i.3.设复数z满足
2、z(1+i)=2i+1(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A解析复数z满足z(1+i)=2i+1(i为虚数单位),z=i.该复数在复平面内对应点,在第一象限.4.已知i是虚数单位,复数-i=()A.i-2B.2+iC.-2D.2答案D解析复数-i=-i=2+i-i=2.5.在复平面内,复数z=i(1+2i)的共轭复数为()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i答案B解析复数z=i(1+2i)=-2+i,复数z=i(1+2i)的共轭复数为-2-i.6.设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数z+的虚部是()A.B.C.D.
3、答案A解析复数z=1+i(i是虚数单位),复数z+=1+i+=1+i+i.复数z+的虚部是.7.已知复数z满足(1-i)=2,则z5=()A.16B.-4+4iC.-16D.-16i答案B解析(1-i)=2,=1+i,则z=1-i.z5=(1-i)5=(1-i)4(1-i)=-4(1-i)=-4+4i.8.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1=z2D.若|z1|=|z2|,则答案D解析对于A,若|z1-z2|=0,则z1-z2=0,z1=z2,所以为真命题;对于B,若z1=,则z1和z2互为共轭复数,所
4、以=z2为真命题;对于C,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2R,若|z1|=|z2|,则,即,所以z1=z2,所以z1=z2为真命题;对于D,若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|,而=1,=-1,所以为假命题.故选D.9.已知复数z满足z=1+2 019(其中i为虚数单位),则=()A.iB.iC.iD.i答案B解析=i,则z=1+2 019=1+i2 019,即z=1-i,所以|z|=1+i,所以i.故选B.10.已知复数z满足z(2-i)=|3+4i|(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,-2)D
5、.(-2,-1)答案B解析由题意,z(2-i)=5,故z=2+i,其在复平面内对应的点的坐标为(2,1).故选B.11.已知复数i2 016(i是虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为()A.2B.-2C.1D.-1答案A解析i4=1,i2 016=1.复数i2 016=i为纯虚数.=0,0,解得a=2.12.若A,B是锐角三角形ABC的两内角,则复数z=(cos B-sin A)+(sin B-cos A)i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析A,B是锐角三角形ABC的两内角,A+B.由得A-B.A,B为锐角三角形ABC的内角,A.又在内,正弦函
6、数是增加的,sin Asin,即sin Acos B.cos B-sin A-A,同理可得sin Bsin,即sin Bcos A,sin B-cos A0.故z对应的点在第二象限.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知i是虚数单位,计算=.答案-i解析=-i.14.设a,b为实数,若复数=1+i,则a=,b=.答案解析由=1+i可得1+2i=(a-b)+(a+b)i,所以解得a=,b=.15.若复数z满足2z+=3+2i,其中i为虚数单位,则z=.答案1+2i解析设z=a+bi,则=a-bi,所以2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3+
7、2i,所以3a=3,b=2,故a=1,b=2,故z=1+2i.16.若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(3-i)=z2(1+3i),|z1|=,则z1=.答案1-i或-1+i解析设z1=a+bi,则z2=-a+bi,z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|=,解得z1=1-i或z1=-1+i.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z使得z+2iR,R,其中i是虚数单位.(1)求复数z的共轭复数;(2)若复数(z+mi)2在复平面上对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.解(1)设z=x+yi(x,yR),
8、则z+2i=x+(y+2)i.z+2iR,y=-2.又iR,x=4.综上,有z=4-2i,=4+2i.(2)m为实数,且(z+mi)2=4+(m-2)i2=(12+4m-m2)+8(m-2)i,由题意得解得-2m2,故实数m的取值范围是(-2,2).18.(12分)已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b =(a+2z)2.解因为z=1+i,所以az+2b =(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.因为a,b都是实数,所以由az+2b =(a+2z)2,得两式相加并整理得a2+6a+8=0,解得a1=-2,a2=-
9、4,相应得b1=-1,b2=2.所以所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.19.(12分)实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?解令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0时,zR,此时k=6或k=-1.(2)当k2-5k-60时,z是虚数,即k6且k-1.(3)当时,z是纯虚数,此时k=4.(4)当时,z=0,解得k=-1.综上,当k=6或k=-1时,z是实数;当k6且k-1时,z是虚数;当k=4时,z是纯虚数;当k=-1
10、时,z是零.20.(12分)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.(1)确定点M的集合构成图形的形状;(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.解(1)设复数-2+2i在复平面内的对应点为P(-2,2),则|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP|=2,故点M的集合是以P为圆心,2为半径的圆,如图所示.(2)设复数1-2i在复平面内的对应点为Q(1,-2),则|z-1+2i|=|MQ|.如图所示,由(1)知|PQ|=5,则|MQ|的最大值即|z-1+2i|的最大值,是|PQ|+2=7;|MQ|的最小值即|z-1+2i|的最小值,是|PQ|-2=3.21.(
11、12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.解(方法一)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).由已知,得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3,2ac+2bd=1.又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1,|z1-z2|=1.(方法二)在复平面内设z1,z2分别对应向量,则对角线对应z1+z2,对应z1-z2,由已知可得|=1,|=1,|=,OZ1Z=120.Z2OZ1=60
12、.故在OZ1Z2中,|=1,即|z1-z2|=1.22.(12分)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.解(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的实数根,所以b2-(6+i)b+9+ai=0,即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故解得a=b=3.(2)设z=x+yi(x,yR),由|-3-3i|=2|z|,得|(x-3)-(y+3)i|=2|x+yi|,即(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),即(x+1)2+(y-1)2=8.所以复数z对应的点Z的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当点Z在OO1的连线上时,|z|有最大值和最小值.因为|OO1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|min=.
