1、01第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理课时过关能力提升1.给出下列四个命题:三边对应成比例的两个三角形相似;一个角对应相等的两个直角三角形相似;一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;一个角对应相等的两个等腰三角形相似.其中正确的命题是()A.B.C.D.解析:很明显和都是判定定理,正确;中,若相等的角是直角,则不一定相似,则不正确;中,若相等的角在一个三角形中是顶角在另一个三角形中是底角,则不一定相似,则不正确.故选A.答案:A2.如图,锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O,图中与ODB相似的三角形有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析:与ODB
2、相似的三角形有AEB,OEC,ADC,共有3个.答案:B3.以下列条件为依据,能判定ABCABC的一组是()A.A=45,AB=12 cm,AC=15 cm;A=45,AB=16 cm,AC=25 cmB.AB=12 cm,BC=15 cm,AC=24 cm;AB=20 cm,BC=25 cm,AC=32 cmC.AB=2 cm,BC=15 cm,B=36;AB=4 cm,BC=5 cm,A=36D.A=68,B=40;A=68,B=40解析:根据条件,结合三角形相似的方法进行判断即可.选项D中,A=A,B=B,则ABCABC.答案:D4.在ABC中,D是AB上一点,在边AC上找一点E,使得A
3、DE与ABC相似,则这样的点最多有()A.0个B.1个C.2个D.无数个解析:如图,DE1BC,则ADE1ABC;在AC上存在点E2,使AE2D=B,又A=A,则ADE2ACB,故这样的点最多有2个.答案:C5.如图,每个大正方形均由边长为1的小正方形组成,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是()解析:在ABC中,B=135,tan C=13,tan A=tan(180-B-C)=tan(45-C)=tan45-tanC1+tan45tanC=1-131+13=12.选项A中,三角形有一个角为135,与B相等,有一个角的正切值为12,这个角与A相等,故选项A中的三角形与ABC相似.可
4、以判断选项B,C,D中的三角形与ABC均不存在两个角对应相等,即都不相似.答案:A6.如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,AC=6,AD=3,则AB=.解析:在ACD和ABC中,A=A,ADC=ACB=90,ACDABC.ACAB=ADAC.6AB=36.AB=12.答案:127.如图,BDAE,C=90,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=,CE=.解析:在RtACE和RtADB中,A是公共角,ACEADB.ABAE=ADAC.AE=ABACAD=AB(AB+BC)AD=4(4+2)3=8.DE=AE-AD=8-3=5.在RtACE中,CE=AE2-AC2=82-(4+2)2=27.
5、答案:5278.如图,在梯形ABCD中,ADBC,ABAD,对角线BDDC,AD=3,BC=7,则BD2=.解析:ADC+BCD=180,BDC=90,ADB+BCD=90.又ADB+ABD=90,ABD=BCD.又BAD=BDC=90,RtABDRtDCB.ADBD=BDBC.BD2=ADBC=37=21.答案:219.如图,四边形ABCD是平行四边形,AEBC于点E,AFCD于点F.求证:(1)ABEADF;(2)EAFABC.证明(1)由题意可知D=B,AEB=AFD=90,ABEADF.(2)由(1)知ABEADF,ABAD=AEAF,BAE=DAF.又AD=BC,ABBC=AEAF.
6、AFCD,CDAB,ABAF.BAE+EAF=90.又AEBC,BAE+B=90.EAF=B.EAFABC.10.如图,在ABC中,AD,CE是两条高,连接DE,如果BE=2,EA=3,CE=4,在不添加任何辅助线和字母的条件下,写出三个正确的结论(要求:分别为边的关系、角的关系、三角形相似),并对其中一个结论予以证明.分析因为题图中有高,所以可充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度.由AE=3,CE=4,可知CA=5,这样可知AC=AB,即ABC是等腰三角形,再寻找条件就比较容易了.解:AB=AC;B=ACB;CEBADC.下面仅证明CEBADC.CEAE,AE=3,CE=4,AC=32+42=5.又AB=AE+BE=5,AC=AB.B=ACB.CEB=ADC=90,CEBADC.
