1、2020 学年高一数学下册期末直线、平面平行和垂直的判定与性质知识点知识点总结1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，ll性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行线线平行)l，l，blb2判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质定理(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)练习考点一：直线与平面平行的判定例 1、(2019陕西
2、西安调研)如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：APGH.证明如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点，APOM.又 MO平面 BMD，PA平面 BMD，PA平面 BMD.平面 PAHG平面 BMDGH，且 PA平面 PAHG，APGH.练习、如图所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1上的中点(1)证明 AD1平面 BDC1；(2)证
3、明 BD平面 AB1D1.证明(1)D1，D 分别为 A1C1 与 AC 的中点，四边形 ACC1A1为平行四边形，C1D1DA，C1D1DA，四边形 ADC1D1为平行四边形，AD1C1D.又 AD1平面 BDC1，C1D平面 BDC1，AD1平面 BDC1.(2)连接 D1D.BB1平面 ACC1A1，BB1平面 BB1D1D，平面 ACC1A1平面 BB1D1DD1D，BB1D1D.又 D1，D 分别为 A1C1AC 中点，BB1DD1，四边形 BDD1B1 为平行四边形，BDB1D1.又 BD平面 AB1D1，B1D1平面 AB1D1，BD平面 AB1D1.练习、如图所示，CD，AB
4、均与平面 EFGH 平行，E，F，G，H 分别在 BD，BC，AC，AD 上，且 CDAB.求证：四边形 EFGH 是矩形证明CD平面 EFGH，而平面 EFGH平面 BCDEF，CDEF.同理 HGCD，EFHG.同理 HEGF，四边形 EFGH 为平行四边形，CDEF，HEAB，HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角又CDAB，HEEF.平行四边形 EFGH 为矩形知识点讲解3.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行面面平行)a，b，abP，a，b性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相
5、交，那么它们的交线平行，a，bab4.判定面面平行的四种方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)考点练习考点二：平面与平面平行的判定与性质例 2、(2019 年南宁月考)如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明(1)G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点，GH
6、 是A1B1C1 的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E，F 分别是 AB，AC 的中点，EFBC.EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A1GEB 且 A1GEB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB.又A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，A1E平面 BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面 EFA，平面 EFA1平面 BCHG.变式探究在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M，四边形 A1ACC1是平行四边
7、形，M 是 A1C 的中点，连接 MD，D 为 BC 的中点，A1BDM.A1B平面 A1BD1，DM平面 A1BD1，DM平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1BD，四边形 BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1，DC1平面 A1BD1.又DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D，平面 A1BD1平面 AC1D.训练、如图，ABCD 与 ADEF 均为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点(1)求证：BE平面 DMF；(2)求证：平面 BDE平面 MNG.证明(1)连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点
8、 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO，又 BE平面 DMF，MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN，又 DE平面 MNG，GN平面 MNG，所以 DE平面 MNG.又 M 为 AB 的中点，所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN，又 MN平面 MNG，BD平面 MNG，所以 BD平面 MNG，又 DEBDD，DE平面 BDE，BD平面 BDE，所以平面 BDE平面 MNG.知识点讲解5、重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则.(2)垂直于同一个平
9、面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.考点练习考点三：与线面平行相关的命题真假判断例 3(2019山东日照月考)若 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A 若，m，则 mB若 m，nm，则 nC若 m，n，m，n，则D若 m，m，n，则 mn【答案】D对于 A，若，m，则 m或 m，故 A 错误；对于 B，若 m，nm，则 n或 n或 n 与相交，故 B 错误；对于 C，若 m，n，m，n，则或、相交，故 C 错误；对于 D，若 m，m，n，由线面平行的性质定理，可得 mn，故 D 正确练习(全国卷)如图，在下列
10、四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()【答案】AA 项，作如图所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QDAB.QD平面 MNQQ，QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交B 项，作如图所示的辅助线，则 ABCD，CDMQ，ABMQ.又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.C 项，作如图所示的辅助线，则 ABCD，CDMQ，ABMQ.又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.D 项，作如图所示的辅助线，则 ABCD，CDNQ.ABNQ.又 A
11、B平面 MNQ，NQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.【知识梳理】6直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，babOlalbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行abab7证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理8证明线
12、线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系(2)利用等腰三角形底边中线的性质(3)利用勾股定理的逆定理(4)利用直线与平面垂直的性质考点练习考点四：直线与平面垂直的判定与性质例 4(2019湖南六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出 m的是()A且 mB且 mCmn 且 nDmn 且【答案】C由线面垂直的判定定理，可知 C 正确练习、（2019 年潍坊月考）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB5，AC6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF54，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DE
13、F的位置OD 10.求证：DH平面 ABCD.证明由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得AEADCFCD，故 ACEF.因此 EFHD，从而 EFDH.由 AB5，AC6 得 DOBO AB2AO24.由 EFAC 得OHDOAEAD14.所以 OH1，DHDH3.于是 DH2OH2321210DO2，故 DHOH.又 DHEF，而 OHEFH，且 OH，EF平面 ABCD，所以 DH平面 ABCD.知识点讲解9平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语
14、言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两ll 个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直lalal10.面面垂直的两种证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决考点练习考点五：面面垂直的判定与性质练习、(北京卷)如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点(1)求证：PABD；(2)
15、求证：平面 BDE平面 PAC；(3)当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积(1)证明因为 PAAB，PABC，所以 PA平面 ABC.又因为 BD平面 ABC，所以 PABD.(2)证明因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以 BDAC.由(1)知，PABD，所以 BD平面 PAC，所以平面 BDE平面 PAC.(3)解因为 PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDEDE，所以 PADE.因为 D 为 AC 的中点，所以 DE12PA1，BDDC 2.由(1)知，PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC，所以三棱锥 EBCD 的体积 V16BDDCDE13.变式探究在本例条件
16、下，证明：平面 PBC平面 PAB.证明由(1)知 PABC，又 BCAB 且 PAABA，BC平面 PAB，又BC平面 PBC，平面 PBC平面 PAB.练习、(2018全国卷)如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90.以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA.(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ23DA，求三棱锥 QABP 的体积(1)证明由已知可得，BAC90，即 BAAC.又 BAAD，所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC.(2
17、)解由已知可得，DCCMAB3，DA3 2.又 BPDQ23DA，所以 BP2 2.如图，过点 Q 作 QEAC，垂足为 E，则 QE 綊 13DC.由已知及(1)可得，DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE1.因此，三棱锥 QABP 的体积为 VQABP13SABPQE131232 2sin 4511.考点六：平行、垂直中关系的证明例 6、(2018江苏卷)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面 A1B1C；(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.(1)证明在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为 AB平面 A1
18、B1C，A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C.(2)证明在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1A1B.又因为 AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC.又因为 A1BBCB，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC.因为 AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC.练习、(2018全国卷)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD上异于 C，D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 A
19、M 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由(1)证明由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BCCD，BC平面ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BCDM.因为 M 为CD上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)解当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP.又 MC平面 PBD，OP平面 BPD，所以 MC平面
20、 PBD.练习、(2019山东潍坊模拟)如图(1)，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点将ABE 沿 BE 折起到图(2)中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE.(1)证明：CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值(1)证明在题图(1)中，因为 ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，BAD2，所以 BEAC.即在题图(2)中，BEA1O，BEOC，从而 BE平面 A1OC.又 CDBE，所以 CD平面 A1OC.(2)解由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE，又由(1)可得 A1OBE，所以 A1O平面 BCDE.即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高由题图(1)知，A1OAO22AB22a，平行四边形 BCDE 的面积 SBCABa2，从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V13SA1O13a2 22a 26a3.由26a336 2，得 a6.
