1、高考资源网（） 您身边的高考专家班级：_姓名：_第一部分知识复习专题专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何题号123456答案一、选择题1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：cc()cba.答案：A2若A(x，5x，2x1)，B(1，x2，2x)，当|取最小值时，x的值等于()A19 B C. D. 答案：C3. (2014新课标卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成的角的余弦值为()A. B. C.
2、D.解析：如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴，则设CACB1，则B(0，1，0)，M，A(1，0，0)，N，故，所以cos，.故选C.答案：C点评：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力4在三棱柱中ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45 C60 D90解析：取BC的中点为E，则AE平面BB1C1C，AEDE.因此AD与平面BB1C1C所成角即为ADE，设ABa，则AEa，DE，即有ta
3、nADE，ADE60.答案：C5在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AB1BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为()A30 B45 C60 D90解析：以A为坐标原点，AC，AA1分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，设底面边长为2a，侧棱长为2b.则A(0， 0，0)，C(0，2a，0)，D(0，a，0)，B(a，a，0)，C1(0，2a，2b)，B1(a，a，2b)(a，a，2b)，(a，a，2b)，(a，0，0)，(a，a，0)由，得0，即2b2a2.设n1(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量，则又2b2a2，令z1.解得n(0，1)同理可求得平面CBC1的一个法向
4、量为n2.所以cos .故45.答案：B6已知非零向量与满足0，且，则ABC为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形解析：由0得|.由，得BAC60，ABC为等边三角形答案：D二、填空题7等边三角形ABC与正方形ABDE有一个公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于_解析：分别取AB、ED的中点F、G，连结FC、FG、CG.由题意知FCAB，FGAB，即CFG为二面角CABD的平面角，设AB1，则FC，在CFG中，CG.CGCF，取FG中点O，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，E，A，C，则M，B
5、，N，cos，.答案：8将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60.其中正确的序号是_解析：取BD中点为O，连接AO，CO，则AOBD，COBD.BD平面AOC，ACBD.又ACAOADCD，ACD是等边三角形而ABD是AB与平面BCD所成的角，应为45.又(设ABa)，则a2a22a2a22aa2aa2a2cos，cos，AB与CD所成的角为60.答案：三、解答题9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1
6、)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解析：方法一如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得D(0，2，0)，F(1，2，1)，A1(0，0，4), E.(1)解析：易得，(0，2，4)于是cos，.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明：已知(1，2，1)， ，于是0，0.因此，AFEA1，AFED，又EA1EDE，所以AF平面 A1ED.(3)解析：设平面EFD的法向量u(x，y，z)，则即不妨令x1，可得u(1，2，1)由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量于是cosu，从而sinu，.所
7、以二面角A1EDF的正弦值为.10如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.(3)求二面角ABED的大小证明：(1) 设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF1，AGAC1.所以四边形AGEF为平行四边形所以AF平面EG，因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC, 所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0，0，0)，A(，0)，B(0，0)，F，E(0，0，1)，D
8、(，0，0)所以，(0，1)，(，0，1)所以0110，1010，所以CFBE，CFDE.又BEDEE，BE平面BDE，DE平面BDE，所以CF平面BDE.(3)由(2)知，是平面BDE的一个法向量设平面ABE的法向量n(x，y，z)，则n0，n0.即所以x0，且zy，令y1，则z.所以n(0，1，)从而cosn，. 因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED的大小为.11. (2014新课标卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积分析：本题第(1)问，证明
9、直线与平面平行，可利用线面平行的判定定理来证明；对第(2)问，可先建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算计算二面角，从而计算出AB，然后由棱锥的体积公式求出三棱锥的体积解析：(1)证明：设O为AC与BD交点，连结OE，则由矩形ABCD知：O为BD的中点，因为E是BD的中点，所以OEPB，因为OE面AEC，PB面AEC，所以PB平面AEC.(2)以A为原点，直线AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设ABm，则(m，0，0)是平面AED的一个法向量，E，C(m，0)，设n(x，y，z)是平面AEC的法向量，则 解得zy，ymx，所以令y1，得n，所以cosn，因为二面角的大小与其两个半平面的两个法向量的夹角相等或互补，所以cosn，cos 60，解得m，因为E是PD的中点，所以三棱锥EACD的高为，所以三棱锥EACD的体积为SACDm.版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()- 14 - 版权所有高考资源网
