1、第35讲合情推理与演绎推理考纲要求考情分析命题趋势1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2017全国卷,92016北京卷,82015江苏卷,112015福建卷,15合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题;而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、;立体几何、数列等问题中的证明来考查.分值:5分1合情推理(1)归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的!_全部对象_#都具有这些
2、特征的推理,或者由个别的事实概括出一般结论的推理特点:是由!_部分_#到!_整体_#、由!_个别_#到!_一般_#的推理(2)类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有!_这些特征_#的推理特点:是由!_特殊_#到!_特殊_#的推理2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理简言之,演绎推理是由!_一般_#到!_特殊_#的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的!_一般原理_#.小前提所研究的!_特殊情况_#.结论根据一般原理,对!_特殊情况_#做出的判断1思维辨析(在括号内打“”或
3、“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)“所有3的倍数都是9的倍数,若数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的()(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确()解析(1)错误归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理(2)错误平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适(3)正确因为大前提错误,所以结论错误(4)错误演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确2有段时间流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白
4、菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的,因为(C)A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误解析推理形式不符合三段论推理的形式,三段论的形式是:M是P,S是M,则S是P,而上面的推理形式则是:M是P,S是P,则S是M.故选C3数列2,5,11,20,x,47,中的x(B)A28B32C33D27解析由523,1156,20119,可知x2012,因此x32.4给出下列三个类比结论:(ab)nanbn与(ab)n类比,则有(ab)nanbn;loga(xy)logaxlogay与sin()类比,则有sin()sin sin ;(ab)2a22abb2与(ab)2类比
5、,则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数为(B)A0B1C2D3解析只有正确5观察下列不等式:1,1,1,1,按此规律,第五个不等式为!1#.解析1,1,1,1,照此规律可以得到1.所以第五个不等式为1(nN*)_#.解析观察前三个不等式,发现其左边最后一项的分母分别为3,7,15,故可猜想第n个式子中应有2n11项,不等式右侧分别写成,故猜想第n个式子中应为,按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1(nN*)2用火柴棒摆“金鱼”,如图所示,按照下面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为!_6n2_#.解析由题意知,图的火柴棒比图的多6根,图的火柴棒比图的多6根,而图的火柴棒的根数
6、为26,第n个“金鱼”图需要(26n)根火柴棒3在矩形ABCD中,对角线AC与相邻两边所成的角为,则有cos2cos21.类比到空间中的一个正确命题是:在长方体ABCDA1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为,则!_cos2cos2cos22_#.解析设长方体的棱长分别为a,b,c,如图所示,所以AC1与下底面所成角为C1AC,记为,AC1与平面A1D1DA所成的角记为,AC1与平面A1B1BA所成的角记为,所以cos2,同理cos2,cos2,所以cos2cos2cos22.4若f(ab)f(a)f(b)(a,bN*),且f(1)2,则!_2 018_#.解析利用三段论因为f(
7、ab)f(a)f(b)(a,bN*),(大前提)令b1,则f(1)2,(小前提)所以2.(结论)易错点类比不当错因分析:从平面类比到空间时,缺乏对对应特点的分析,无法得到正确结论【例1】 在RtABC中,ABAC,ADBC于D,求证:,那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由解析如图(1)所示,由射影定理知AD2BDDC,AB2BDBC,AC2BCDC,.又BC2AB2AC2,.在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE平面BCD于E,则.证明如下:如图(2),连接BE交CD于点F,连接AF.ABAC,ABAD,AB平面ACD.而AF平面ACD,ABAF.在
8、RtABF中,AEBF,.在RtACD中,AFCD,.【跟踪训练1】 我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2b2c2,称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中:在四面体OABC中,AOBBOCCOA90,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面OAB,OAC,OBC的面积,则下列选项中对于S,S1,S2,S3满足的关系描述正确的为(A)AS2SSSBS2CSS1S2S3DS解析如图,作ODBC于点D,连接AD,由立体几何知识知,ADBC,从而S22BC2AD2BC2(OA2OD2)(O
9、B2OC2)OA2BC2OD2222SSS.课时达标第35讲解密考纲高考中,归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查,多以选择题和填空题的形式出现一、选择题1下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(B)A大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无理数;结论:是无限不循环小数B大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无限不循环小数;结论:是无理数C大前提:是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:是无理数D大前提:是无限不循环小数;小前提:是无理数;结论:无限不循环小数是无理数解析对于A项,小前提与结论颠倒,错误;对于B项,符合演绎推理过程且结论正确;
10、对于C项,大小前提颠倒;对于D项,大小前提以及结论颠倒故选B2请仔细观察1,1,2,3,5,(),13,运用合情推理,可知写在括号里的数最可能是(A)A8B9C10D11解析观察题中所给各数可知,211,312,523,835,1358,括号中的数为8.故选A3在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为k,即k5nk|nZ,k0,1,2,3,4.给出如下四个结论:2 0183;22;Z01234;整数a,b属于同一“类”的充要条件是“ab0”其中正确结论的个数为(C)A1B2C3D4解析因为2 01840353,所以2 0183,正确;2153,23,所以不正确;因为整数集
11、中被5除的数可以且只可以分成五类,所以正确;整数a,b属于同一“类”,因为整数a,b被5除的余数相同,从而ab被5除的余数为0,反之也成立,故整数a,b属于同一“类”的充要条件是“ab0”,故正确所以正确的结论有3个故选C4观察(x2)2x,(x4)4x3, (cos x)sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(x)(D)Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)解析由所给等式知,偶函数的导数是奇函数f(x)f(x),f(x)是偶函数,从而g(x)是奇函数g(x)g(x)5甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩
12、老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩”看后甲对大家说:“我还是不知道我的成绩”根据以上信息,则(D)A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析依题意,由于甲看后还是不知道自己的成绩,说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好,则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好,因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩就清楚了自己的成绩,综合以上信息可知,乙、丁可以知道自己的成绩故选D6已知anlogn1(n2)(nN*),观察下列运算:a1a2log23log342;a1a2a3a4
13、a5a6log23log34log783;.若a1a2a3ak(kN*)为整数,则称k为“企盼数”,试确定当a1a2a3ak2 019时,“企盼数”k为(C)A22 019 2B22 019C22 0192D22 0194解析a1a2a3ak2 019,lg(k2)lg 22 019,故k22 0192.二、填空题7观察下列式子:1,1,1,根据上述规律,第n个不等式应该为!_1_#.解析不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和,即1,不等式的右边为,所以第n个不等式应该为1.8观察下列等式:11;2349;3456725;4567891049;照此规律,第n个等式为!n(n1)(n2)(3n2
14、)(2n1)2#.解析观察这些等式,第一个等式左边是1个数,从1开始;第二个等式左边是3个数相加,从2开始;第三个等式左边是5个数相加,从3开始;第n个等式左边是2n1个数相加,从n开始等式的右边为左边2n1个数的中间数的平方,故第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.9设等差数列an的前n项和为 Sn,则 S4,S8S4,S12S8,S16S12成等差数列类比以上结论我们可以得到一个真命题为:设等比数列bn的前n项积为Tn,则!T4,#成等比数列解析利用类比推理把等差数列中的差换成商即可三、解答题10设f(x) ,g(x) (其中a0,且a1)(1)由523请你推测g(5)能否
15、用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广解析(1)由于f(3)g(2)g(3)f(2),又g(5),因此g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由g(5)f(3)g(2)g(3)f(2),即g(23)f(3)g(2)g(3)f(2),于是推测g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)证明:因为f(x),g(x),所以g(xy),g(y),f(y),所以f(x)g(y)g(x)f(y)g(xy)11定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和已知数列a
16、n是等和数列,且a12,公和为5.(1)求a18的值;(2)求该数列的前n项和Sn.解析(1)由等和数列的定义,数列an是等和数列,且a12,公和为5,易知a2n12,a2n3(n1,2,),故a183.(2)当n为偶数时,Sna1a2an(a1a3an1)(a2a4an)2233n.当n为奇数时,SnSn1an(n1)2n.综上所述,Sn12对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0),给出定义:设f(x)是函数yf(x)的导数,f(x)是f(x)的导数,若方程f(x)0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现:任何个三次函数都有“拐点”;任何个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x,请你根据这一发现,解决下列问题(1)求函数f(x)x3x23x的对称中心;(2)计算ffff.解析(1)f(x)x2x3,f(x)2x1,由f(x)0,即2x10,解得x.f3231.由题中给出的结论,可知函数f(x)x3x23x的对称中心为.(2)由(1)知函数f(x)x3x23x的对称中心为,所以ff2,即f(x)f(1x)2.故ff2,ff2,ff2,ff2,所以ffff22 0162 016.