1、第35讲合情推理与演绎推理考纲要求考情分析命题趋势1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2017全国卷，92016北京卷，82015江苏卷，112015福建卷，15合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、；立体几何、数列等问题中的证明来考查.分值：5分1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的！_全部对象_#都具有这些
2、特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理特点：是由！_部分_#到！_整体_#、由！_个别_#到！_一般_#的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有！_这些特征_#的推理特点：是由！_特殊_#到！_特殊_#的推理2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由！_一般_#到！_特殊_#的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的！_一般原理_#.小前提所研究的！_特殊情况_#.结论根据一般原理，对！_特殊情况_#做出的判断1思维辨析(在括号内打“”或
3、“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()解析(1)错误归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理(2)错误平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适(3)正确因为大前提错误，所以结论错误(4)错误演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确2有段时间流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白
4、菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，因为(C)A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误解析推理形式不符合三段论推理的形式，三段论的形式是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S是P，则S是M.故选C3数列2,5,11,20，x,47，中的x(B)A28B32C33D27解析由523,1156,20119，可知x2012，因此x32.4给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比
5、，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数为(B)A0B1C2D3解析只有正确5观察下列不等式：1，1，1，1，按此规律，第五个不等式为！1#.解析1，1，1，1，照此规律可以得到1.所以第五个不等式为1(nN*)_#.解析观察前三个不等式，发现其左边最后一项的分母分别为3,7,15，故可猜想第n个式子中应有2n11项，不等式右侧分别写成，故猜想第n个式子中应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1(nN*)2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为！_6n2_#.解析由题意知，图的火柴棒比图的多6根，图的火柴棒比图的多6根，而图的火柴棒的根数
6、为26，第n个“金鱼”图需要(26n)根火柴棒3在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为，则有cos2cos21.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为，则！_cos2cos2cos22_#.解析设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为C1AC，记为，AC1与平面A1D1DA所成的角记为，AC1与平面A1B1BA所成的角记为，所以cos2，同理cos2，cos2，所以cos2cos2cos22.4若f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)，且f(1)2，则！_2 018_#.解析利用三段论因为f(
7、ab)f(a)f(b)(a，bN*)，(大前提)令b1，则f(1)2，(小前提)所以2.(结论)易错点类比不当错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论【例1】 在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解析如图(1)所示，由射影定理知AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD于E，则.证明如下：如图(2)，连接BE交CD于点F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在
8、RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.【跟踪训练1】 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(A)AS2SSSBS2CSS1S2S3DS解析如图，作ODBC于点D，连接AD，由立体几何知识知，ADBC，从而S22BC2AD2BC2(OA2OD2)(O
9、B2OC2)OA2BC2OD2222SSS.课时达标第35讲解密考纲高考中，归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现一、选择题1下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(B)A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析对于A项，小前提与结论颠倒，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；
10、对于C项，大小前提颠倒；对于D项，大小前提以及结论颠倒故选B2请仔细观察1,1,2,3,5，()，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(A)A8B9C10D11解析观察题中所给各数可知，211,312,523,835,1358，括号中的数为8.故选A3在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：2 0183；22；Z01234；整数a，b属于同一“类”的充要条件是“ab0”其中正确结论的个数为(C)A1B2C3D4解析因为2 01840353，所以2 0183，正确；2153，23，所以不正确；因为整数集
11、中被5除的数可以且只可以分成五类，所以正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而ab被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“ab0”，故正确所以正确的结论有3个故选C4观察(x2)2x，(x4)4x3, (cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)(D)Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)解析由所给等式知，偶函数的导数是奇函数f(x)f(x)，f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数g(x)g(x)5甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩
12、老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”根据以上信息，则(D)A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析依题意，由于甲看后还是不知道自己的成绩，说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好，则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好，因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩就清楚了自己的成绩，综合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成绩故选D6已知anlogn1(n2)(nN*)，观察下列运算：a1a2log23log342；a1a2a3a4
13、a5a6log23log34log783；.若a1a2a3ak(kN*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1a2a3ak2 019时，“企盼数”k为(C)A22 019 2B22 019C22 0192D22 0194解析a1a2a3ak2 019，lg(k2)lg 22 019，故k22 0192.二、填空题7观察下列式子：1，1，1，根据上述规律，第n个不等式应该为！_1_#.解析不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1，不等式的右边为，所以第n个不等式应该为1.8观察下列等式：11；2349；3456725；4567891049；照此规律，第n个等式为！n(n1)(n2)(3n2
14、)(2n1)2#.解析观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；第n个等式左边是2n1个数相加，从n开始等式的右边为左边2n1个数的中间数的平方，故第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.9设等差数列an的前n项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则！T4，#成等比数列解析利用类比推理把等差数列中的差换成商即可三、解答题10设f(x) ，g(x) (其中a0，且a1)(1)由523请你推测g(5)能否
15、用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广解析(1)由于f(3)g(2)g(3)f(2)，又g(5)，因此g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即g(23)f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推测g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)证明：因为f(x)，g(x)，所以g(xy)，g(y)，f(y)，所以f(x)g(y)g(x)f(y)g(xy)11定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列a
16、n是等和数列，且a12，公和为5.(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和Sn.解析(1)由等和数列的定义，数列an是等和数列，且a12，公和为5，易知a2n12，a2n3(n1,2，)，故a183.(2)当n为偶数时，Sna1a2an(a1a3an1)(a2a4an)2233n.当n为奇数时，SnSn1an(n1)2n.综上所述，Sn12对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何个三次函数都有“拐点”；任何个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，请你根据这一发现，解决下列问题(1)求函数f(x)x3x23x的对称中心；(2)计算ffff.解析(1)f(x)x2x3，f(x)2x1，由f(x)0，即2x10，解得x.f3231.由题中给出的结论，可知函数f(x)x3x23x的对称中心为.(2)由(1)知函数f(x)x3x23x的对称中心为，所以ff2，即f(x)f(1x)2.故ff2，ff2，ff2，ff2，所以ffff22 0162 016.