1、模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:xR,x1,则命题p为()A.xR,x1B.x0R,x01C.xR,x-1D.x0R,x0-1解析全称命题的否定是特称命题.答案B2.设向量a=(2,2,0),b=cos ,-,1(0180),若ab,则角=()A.30B.60C.120D.150解析ab=2cos +2+01=0得cos =,因为0b,cd”是“a+cb+d”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析根据不等式的可加性可得ab,cda+cb+d成立;反之不成立,例
2、如取c=5,d=1,a=2,b=3,满足a+cb+d,但是ab不成立,所以“ab,cd”是“a+cb+d”的充分不必要条件.故选A.答案A5.下列命题中,真命题是()A.对于任意xR,2xx2B.若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题C.“平面向量a,b的夹角是钝角”的充分不必要条件是“abx2,当x=2时,不等式不成立,所以A不正确;对于B,若“p且q”为假命题,则p,q至少有一个是假命题,不一定均为假命题,所以B不正确;对于C,“ab0”推出“平面向量a,b的夹角是钝角或平角”,又“平面向量a,b的夹角是钝角”可推出“ab0”,所以“平面向量a,b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“abb
3、0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是()A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.线段解析P为MF1中点,O为F1F2的中点,其中F2为椭圆的右焦点,OP=MF2.又MF1+MF2=2a,PF1+PO=MF1+MF2=a.P的轨迹是以F1,O为焦点的椭圆.答案A7.在空间四面体O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,P是MN的三等分点(靠近N),若=a,=b,=c,则=()A.a+b+cB.a+b+cC.a+b+cD.a+b+c解析由题意可得:)=()+()=(b+c)-a,a+(b+c)-a=(b+c-a),a+(b+c-a)=a+b+c.故选B.答案B8.经
4、过点(3,-)的双曲线=1(a0,b0),其一条渐近线方程为y=x,该双曲线的焦距为()A.B.2C.2D.4解析点(3,-)在双曲线=1上,可得=1.又渐近线方程为y=x,一条渐近线方程为y=x,可得,解得a=,b=1.所以c=2,焦距为2c=4.故选D.答案D9.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,1,1),且a+b与ka-b互相垂直,则k的值是()A.1B.C.-1D.解析因为向量a=(2,1,0),b=(-1,1,1),所以a+b=(1,2,1),ka-b=(2k+1,k-1,-1),又a+b与ka-b互相垂直,所以(a+b)(ka-b)=0,即1(2k+1)+2(k-1)+1(-
5、1)=0,解得k=.故选B.答案B10.设双曲线=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.解析双曲线的一条渐近线为y=x,由消y得x2-x+1=0.由题意,知=-4=0,b2=4a2.又c2=a2+b2,c2=a2+4a2=5a2.答案D11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=,则AA1与平面AB1C1所成的角为()A.B.C.D.解析在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=,建立以A为坐标原点,直线AC,AB,AA1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图.则A1(
6、0,0,),A(0,0,0),B1(0,2,),C1(2,0,),则=(0,2,),=(2,0,),设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z),=(0,0,),则m=2y+z=0,m=2x+z=0,令z=1,则x=-,y=-,即m=,则AA1与平面AB1C1所成的角满足sin =|cos|=,则=,故选A.答案A12.已知点P是椭圆=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足=3,则直线AB的斜率为()A.-B.-C.D.解析设A(x1,y1),B(x2,y2).=3,点P,=3.x1+x2=-1,y1+y2=-.把A,B代入椭圆方程,得两式相减,得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y
7、2)(y1-y2)=0,=-.x1+x2=-1,y1+y2=-,kAB=-=-.故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.双曲线x2-=1的渐近线方程为,焦点坐标为.解析双曲线x2-=1的渐近线方程为y=x,焦点坐标为(2,0).答案y=x(2,0)14.若抛物线y2=2px(p0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为.解析抛物线y2=2px(p0)上一点到对称轴的距离为6,设该点为P,则P的坐标为(x0,6).P到抛物线的焦点F的距离为10,由抛物线的定义,得x0+=10.点P是抛物线上的点,2px0=36,由联立,解得p=2,x0=9或p=1
8、8,x0=1,抛物线方程为y2=4x或y2=36x.答案y2=4x或y2=36x15.已知点P是椭圆=1上的一点,F1,F2是焦点,且F1PF2=90,则F1PF2的面积为.解析由椭圆=1知,|PF1|+|PF2|=2a=6.又F1PF2=90,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16,而|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=16,解得|PF1|PF2|=10,所以F1PF2的面积为S=|PF1|PF2|=5.故答案为5.答案516.在棱长为2的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则=.解析E是BC的中点,).=()=)=|cos 120+|c
9、os 60+2=-2+1+2=1.故答案为1.答案1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:x2-6x+50,q:x2-2x+1-m20(m0).(1)若m=2,且pq为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.解(1)由x2-6x+50,得1x5,p:1x5.当m=2时,q:-1x3.若pq为真,p,q同时为真命题,则即1x3.实数x的取值范围为1,3.(2)由x2-2x+1-m20,得q:1-mx1+m.p是q的充分条件,解得m4.实数m的取值范围为4,+).18.(本小题满分12分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中
10、,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)求证:EGAC;(2)求证:平面EFG平面AB1C.证明把作为空间的一个基底.(1)因为,所以=2.所以EGAC.(2)由(1)知EGAC,又AC平面AB1C,EG平面AB1C,所以EG平面AB1C.因为,所以=2.所以FGAB1.又AB1平面AB1C,FG平面AB1C,所以FG平面AB1C.又EGFG=G,所以平面EFG平面AB1C.19.(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lg的定义域为R;命题q:不等式3x-9xa对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;(2)如果“pq”为真命题,且“pq”为假命题
11、,求实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题,则:当a=0时,定义域为x|x2.因此,实数a的取值范围为(2,+).(2)若命题q是真命题,则不等式3x-9x1,y=t-t2.当t=1时,ymax=0,所以a0.若命题“pq”为真命题,且“pq”为假命题,则p,q一真一假.若p真q假,则此时a无解.若p假q真,则得0a2.综上,实数a的取值范围为0,2.20.(本小题满分12分)已知椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MDCD,连接CM,交椭圆于点P.
12、证明:为定值.(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(1)解a=2,b=c,a2=b2+c2,b2=2.椭圆方程为=1.(2)证明C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则=(x1,y1),=(2,y0).直线CM:y=(x+2),即y=x+y0,代入椭圆方程x2+2y2=4,得x2+x+-4=0.x1=-,x1=-,y1=.=-=4(定值).(3)解设存在Q(m,0)满足条件,则MQDP.=(m-2,-y0),则由=0得-(m-2)-=0,从而得m=0.
13、存在Q(0,0)满足条件.21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=AD=2,AB=,M是棱PD上一点,且=,01.(1)当=时,求直线AM与PC所成角的余弦值;(2)当CMBD时,求二面角M-AC-B的大小.解(1)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,0,0),C(,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设M(x,y,z),则=(0,-2,2)(01),=(0,2-2,2),当=时,=(,2,-2),cos=,直线AM与PC所成角的余弦值为.(2)=(-,2,0
14、),=(-,-2,2),当CMBD时,=2-4=0,解得=,此时,=(0,1,1),=(,2,0),设平面MAC的一个法向量n=(x,y,z),则取z=1,得n=(,-1,1),又平面BAC的一个法向量=(0,0,2),cos=,由图象得,二面角M-AC-B是钝二面角,二面角M-AC-B的大小为120.22.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆=1(b0)的右顶点和上顶点分别为A,B,M为线段AB的中点,且=-b2.(1)求椭圆的离心率;(2)四边形ABCD内接于椭圆,ABCD.记直线AD,BC的斜率分别为k1、k2,求证:k1k2为定值.(1)解A(2,0),B(0,b),线段AB的中点M1,.=(-2,b),=1,.=-b2,-2+=-b2,解得a=2,b=1.c=,椭圆的离心率e=.(2)证明由(1)得椭圆的标准方程为+y2=1,A(2,0),B(0,1),直线BC的方程为y=k2x+1,联立得(1+4)x2+8k2x=0,解得xC=,yC=,即C,直线AD的方程为y=k1(x-2).联立化为(1+4)x2-16x+16-4=0,2xD=,解得xD=,yD=,D,kCD=-,化为1-16+2k1-2k2+8k1-8k2=0,k1k2-(4k1k2-2k2+2k1+1)=0,k1k2=为定值.
