1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=ax-x,且f(4)=12,则a的值等于()A.14B.52C.1D.34解析由已知得f(x)=a-12x,因此有f(4)=a-124=12,解得a=34.答案D2.曲线y=xx-2在点(1,-1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析由于y=-2(x-2)2,所以切线斜率k=-2(1-2)2=-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案A3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直
2、线y=4x-1,则P0点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(-1,-4)D.(2,8)和(-1,-4)解析依题意令f(x)=3x2+1=4,解得x=1,f(1)=0,f(-1)=-4,故P0点的坐标为(1,0),(-1,-4),故选C.答案C4.函数f(x)=2ln x-x-3x的单调递增区间是()A.(-1,3)B.(0,3)C.(3,+)D.(3,+)和(-,-1)解析f(x)=2x-1+3x2=-x2+2x+3x2,令f(x)0,解得-1x3,结合定义域知0x0,g(x)=6x2-2x+1中=-200恒成立,故f(x)0恒成立,即f(x)在定义域内单调递增,无极值点
3、.答案A6.已知函数y=f(x),其导函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)()A.在(-,0)内为减函数B.在x=0处取极小值C.在(4,+)内为减函数D.在x=2处取极大值解析在(-,0)内,f(x)0,故f(x)在(-,0)内为增函数,A错;在x=0处,导数由正变负,f(x)由增变减,故在x=0处取极大值,B错;在(4,+)内,f(x)0,b0)的一个极值点为1,则ab的最大值为()A.1B.12C.14D.116解析f(x)=16x3-12ax2-bx(a0,b0),可得f(x)=12x2-ax-b,因为函数f(x)的一个极值点为1,所以f(1)=0,即12-a-b=0,即a+
4、b=12.所以aba+b22=116,当且仅当a=b=14时等号成立,所以ab的最大值为116.故选D.答案D8.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1解析y=aex+lnx+1,k=y|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.答案D9.若不等式2xln x-x2+ax对x1,+)恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.(-,1C.(0,+)D.1,+)解析由2xlnx-x2+ax,x1,+),可知a
5、2lnx+x.设h(x)=2lnx+x,x1,+),则h(x)=2x+10,所以函数h(x)在1,+)内单调递增,所以h(x)min=h(1)=1,由题可知ah(x)min=1,故a的取值范围是(-,1.故选B.答案B10.已知函数f(x)是定义在(0,+)内的函数,其导数为f(x),且满足f(x)-f(x)=-exx2,又f(1)=e,则函数f(x)在定义域(0,+)内()A.有极大值B.有极小值C.单调递增D.单调递减解析由f(x)-f(x)=-exx2可得f(x)-f(x)ex=-1x2,即f(x)ex=-1x2,于是f(x)ex=1x+c,其中c为常数.又因为f(1)=e,所以ee=1
6、+c,故c=0,从而f(x)=exx.于是f(x)=ex(x-1)x2,令f(x)=0得x=1,且当0x1时,f(x)1时,f(x)0,故函数f(x)在定义域(0,+)内有极小值.答案B11.若函数f(x)=x3-3x-1对于区间-3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|t,则实数t的最小值是()A.20B.18C.3D.0解析f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f(x)=0,得x=1,所以-1,1为函数f(x)的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间-3,2上,f(x)max=1,f(x)min=-19.由题设,知在
7、区间-3,2上,f(x)max-f(x)mint,从而t20,所以t的最小值是20.故选A.答案A12.定义在(0,+)内的函数f(x)满足xf(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是()A.(0,eB.(0,e)C.0,1eD.0,1e解析因为f(x)=1+1x,故设f(x)=x+lnx+C,因为f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.不等式f(x)(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1(a+1)x+1,即lnxxa在(0,+)内有解.令g(x)=lnxx,则g(x)=1-lnxx2,当x(0,e)时,g(x)0,g(x)在(
8、0,e)内为增函数;当x(e,+)时,g(x)0,g(x)在(e,+)内为减函数;故g(x)max=g(e)=1e,所以00,所以由f(x)0,得x2a,由f(x)0,得0x0,解得a=12.答案1214.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则f(-3)f(1)=.解析f(x)=3ax2+2bx+c,结合图象可得x=-1,2为导函数的零点,即f(-1)=f(2)=0,故3a-2b+c=0,12a+4b+c=0,解得a=-c6,b=c4,故f(-3)f(1)=27a-6b+c3a+2b+c=-5.答案-515.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函
9、数y1=17x2,生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数y2=2x3-x2,已知x0,为使利润最大,应生产千台.解析由题意,利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x0).y=36x-6x2,由y=36x-6x2=6x(6-x)=0,解得x=6或x=0(舍去),当x(0,6)时,y0,当x(6,+)时,y0.所以函数在(0,6)内为增函数,在(6,+)内为减函数.则当x=6时,y有最大值,即生产6千台时,利润最大.答案616.设函数f(x)=2ln x-12mx2-nx,若x=2是f(x)的极大值点,则m的取值范围为.解析函数定义域为(0,+).f(x
10、)=2x-mx-n,依题意有f(2)=1-2m-n=0,即n=1-2m.于是f(x)=2x-mx+2m-1=-(x-2)(mx+1)x,若m0,显然x=2是f(x)的极大值点,满足题意;若m2,解得m-12.综上,m的取值范围为-12,+.答案-12,+三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3-2x2+ax-1,且f(1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲线f(x)在x=-1处的切线方程.解(1)因为f(x)=x3-2x2+ax-1,所以f(x)=3x2-4x+a.因为f(1)=1,所以312-41+a=1,解得a=2.故f(x)=x3-2
11、x2+2x-1.(2)由(1)知f(x)=3x2-4x+2,所以曲线f(x)在x=-1处的切线斜率k=f(-1)=9,又f(-1)=-6,因此切线方程为y+6=9(x+1),即9x-y+3=0.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-x2-ax的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b.(1)求实数a,b的值;(2)若函数g(x)=f(x)-1x,求g(x)在(0,+)内的极值.解(1)因为f(x)=ex-2x-a,所以f(0)=1-a.于是由题知1-a=2,解得a=-1.因此f(x)=ex-x2+x,f(0)=1,于是1=20+b,解得b=1.(2)由(1)得g(x)=f(x)-1x
12、=ex-2xx=exx-2,所以g(x)=ex(x-1)x2,令g(x)=0得x=1,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下:x(0,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增所以g(x)在x=1取得极小值g(1)=e-2,无极大值.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2-x+c.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)有三个零点,求实数c的取值范围.解(1)因为f(x)=x3+x2-x+c,故f(x)=3x2+2x-1,由f(x)0,得x13,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,-1)和13,+;(2)由(1)知,f(x)在x=-1处
13、取得极大值1+c,在x=13处取得极小值-527+c,因为函数f(x)有三个零点,所以1+c0,-527+c0,解得-1c0),f(x)=-lnxx2,当0x0;当x1时,f(x)x2e2,则|f(x1)-f(x2)|k1x1-1x2等价于f(x1)-f(x2)k1x1-1x2,f(x2)-kx2f(x1)-kx1,即函数F(x)=f(x)-kx在e2,+)内单调递减.又F(x)=f(x)-kx=1+lnxx-kx,F(x)=k-lnxx20在e2,+)内恒成立,klnx在e2,+)内恒成立,令y=lnx,当x=e2时,y取最小值,即lne2=2,故k的取值范围为(-,2.21.(本小题满分1
14、2分)如图,从一个面积为15的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形,并将截得的两块矩形铁皮分别以AB,A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱(无底面,连接部分材料损失忽略不计).记这两个圆柱的体积之和为V.(1)将V表示成x的函数关系,并写出x的取值范围;(2)求两个圆柱体积之和V的最大值.解(1)设半圆形铁皮的半径为r,自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1,r2.因为半圆形铁皮的面积为15,所以12r2=15,即r2=30.因为2r1=2r2-x2,所以r1=130-x2,同理2r2=2r2-(2x)2,即r2=130-4x2.所以卷成的两个圆柱的体积之和V=f(x)=(r12+r2
15、2)x=1(60x-5x3).因为02x0;当x2,302时,f(x)0.(1)当a=-34时,求函数f(x)的单调区间;(2)对任意x1e2,+均有f(x)x2a,求a的取值范围.解(1)当a=-34时,f(x)=-34lnx+1+x,x0.f(x)=-34x+121+x=(1+x-2)(21+x+1)4x1+x,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+).(2)由f(1)12a,得0a24.当00,故q(x)在1e2,17上单调递增,所以q(x)q17.由得,q17=-277p17-277p(1)=0.所以,q(x)0.由知对任意x1e2,+,t22,+),g(t)0,即对任意x1e2,+,均有f(x)x2a.综上所述,所求a的取值范围是0,24.
