1、 第三章 导数及其应用3.3.1 函数的单调性与导数1了解函数的单调性和导数的关系2能利用导数研究函数的单调性3会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）函数的单调性与导数的关系已知函数 f(x)在某个区间内可导，则(1)如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内；(2)如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内；(3)若 f(x)0 恒成立，则 f(x)在这个区间内是单调递增单调递减常数函数知识导学1函数的单调性函数()yf x在某个区间(,)a b 内可导 函数的单调性的充分条件若()0fx，则()f x 为增函数；若()0fx，则()f x 为减函数函数的单调性的必
2、要条件若()f x 为增函数，则()0fx；若()f x为减函数，则()0fx知识导学2求可导函数单调区间的步骤求()fx；令()fx0，得递增区间；令()fx0，得递减区间知识导学问题探究探究1：利用导数判断函数图象 例1、已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中yf(x)的图象大致是()解析：当x1时，xf(x)0，f(x)为增函数，当1x0，f(x)0，f(x)为减函数，当0 x1时，xf(x)0，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0，f(x)为增函数答案：C归纳总结根据题目条件和所给图象，判断f(x)所在区间函数值的符号，确定f(x)所在
3、区间的单调性，大致可以确定曲线的形状1、设()f x 在定义域内可导，()yf x的图象如图 2 所示，则导函数()yfx的图象可能是（）图 2学以致用【答案】D【解析】0 x 时，()f x 单调递减，()0fx，排除 A、C；0 x 时，()f x 先增后减，再增，则()fx为正、负、正，排除 B 问题探究探究2：求函数的单调区间 例 2、讨论函数32()(1)43xf xaxaxb的单调性解析：2()2(1)4f xxaxa(2)(2)xa x，令()0fx，即2xa，或2x 当1a 时，令()0fx，解得2xa或2x，)(xf的单调递增区间为(,2)，2,)a（，单调递减区间为(2,2
4、)a 当1a 时，2()(2)0f xx，即)(xf的单调递增区间为),(当1a 时，令()0fx，解得2xa，或2x，)(xf的单调递增区间为(,2)a，(2,)，单调递减区间为(2,2)a函数在指定区间上单调递增(递减)，函数在这个区间上的导数大于或等于零(小于或等于零)，只要不在一段连续的区间上恒等于零即可，求函数的单调区间解 f(x)0(或0)即可归纳总结学以致用2、设函数f(x)xekx(k0)(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间(2)由 f(x)(1kx)ekx0，得 x1k(k0)，若 k0，则当 x(，1k)时，f(x)0，函数
5、f(x)单调递减，当 x(1k，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，若 k0，则当 x(，1k)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，当 x(1k，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减(1)f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.问题探究探究3：由函数的单调性求参数的范围 例 3、已知函数2()lnf xxax（1）当2ae 时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()2g xf xx在1,4上是减函数，求实数 a 的取值范围解析：（1）函数)(xf的定义域为(0,)2()lnf xxax，()2afxxx当e
6、a2时，2()2 lnf xxex，22()()()2exexefxxxx令()0fx，解得 xe；令()0fx，解得0 xe()f x 的单调递增区间是(,)e ；单调递减区间是(0,)e（2）2()ln2g xxaxx，()22ag xxx，函数()g x 在1,4 上是减函数，()220ag xxx在1,4 上恒成立，222axx在1,4 上恒成立，设2211()222()22xxxx，显然()x在1,4 上为减函数，()(4)24x，a 的取值范围是24a 归纳总结利用导数研究函数的单调性关注四点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论(2)在能
7、够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制学以致用3、设函数 f(x)x392x26xa.(1)对于任意实数 x，f(x)m 恒成立，求 m 的最大值；(2)若方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围解析：(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，因为 x(，)，f(x)m，即 3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，得 m34，即 m 的最大值为34(2)因为当 x1 时，f(x)0；当 1x2
8、时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0；f(x)在(，1)和(2，)上递增，在(1,2)上递减当 x1 时，f(x)取极大值 f(1)52a；当 x2 时，f(x)取极小值 f(2)2a；结合草图知，当 f(2)0 或 f(1)0 时，方程 f(x)0 仅有一个实根解得 a2 或 a52.a 的取值范围是(，2)(52，)1函数 f(x)的导函数 f(x)有下列信息：f(x)0 时，1x2；f(x)0 时，x1 或 x2；f(x)0 时，x1 或 x2.则函数 f(x)的大致图象是()C当堂检测2函数 f(x)x33x1 的单调增区间是()A(1,1)B(，1)C(1，)D(，1)，(1，)
9、解析：f(x)3x23.由 f(x)0 得，x1 或 x1.故单调增区间为(，1)，(1，)，故选 D.3函数 f(x)cos xx 在(0，)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数D减函数解析：f(x)sin x10.f(x)在(0，)上是减函数，故选 D.4若函数 f(x)kexx 在(0，)上是减函数，则 k 的范围为()Ak1Bk1Ck1Dk1解析：f(x)kex1.由题意得 kex10 在(0，)上恒成立，即 k1ex，x(0，)当 x(0，)，1ex(1,0)，k1，故选 B.5水均匀的注入如图所示的容器中，则水的高度 y 与时间 x 的函数图象为()解析：根据高度的增速的快
10、慢知，开始快，然后慢，再然后慢，最后快，且不是一次函数关系，故选 D.6函数 f(x)3x2cos x，x(0，)上的单调减区间为()A.3，23B.6，56C.0，3，23，D.0，6，56，解析：f(x)32sin x，x(0，)由 f(x)0，得 sin x 32.又x(0，)，x3，23，故选 A.7函数 f(x)sin xkx 在(0，)上是增函数，则实数 k 的取值范围为_解析：f(x)cos xk0，kcos x，x(0，)恒成立当 x(0，)时，1cos x1，k1.8函数 f(x)x2ax3 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x)2xa，f(x)在(1，)上是增函数，2xa0 在(1，)上恒成立即 a2x，a2.课堂小结1注意定义域和参数对单调区间的影响2同一函数的两个单调区间不能并起来作 业 生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西.居里夫人
