1、2011年高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用第六节 函数应用【高考目标定位】一、函数与方程1、考纲点击（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。2、热点提示（1）函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容，在近年的高考中一定有所体现。（2）本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，不排除与其他知识，在知识交汇处命题。二、函数模型及其应用1、考纲点击（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。（2）了解函数
2、模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。2、热点提示（1）考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力；几种增长型函数模型的应用可能会成为明年高考的又一生长点。（2）多以解答题的形式出现，属中、高档题，偶尔也会在选择题、填空题中考查。【考纲知识梳理】一、函数与方程1、函数的零点（1）函数零点的定义对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。（2）几个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点注：函数的零点不是函数与轴的交点，而是与轴的交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。并非任意函数都有零点，只有有根的函数才有零点。（3
3、）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在c（a,b），使得f(c)=0，这个c也就是的根注：在上面的条件下，（a,b）内的零点至少有一个c，还可能有其他根，个数不确定。2、二次函数的图象与零点的关系二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点无交点零点个数两个零点一个零点无零点 3、二分法（1）二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）用二分法求函数零点近似值的步骤第一步，确
4、定区间a,b,验证，给定精确度；第二步，求区间（a,b）的中点；第三步，计算：若=0，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；第四步，判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复第二、三、四步。二、函数模型及其应用1、几类函数模型及其增长差异（1）几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型（2）三种增长型函数之间增长速度的比较指数函数与幂函数在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内会小于，但由于的增长快于的增长，因而总存在一个，当时，有。对数函数与幂函数（）对数函数的增长速度，不论与值的大小如何总会慢于的增长速
5、度，因而在定义域内总存在一个实数，使时有。由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在上，总会存在一个，使时有2、解函数应用问题的步骤（四步八字）（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。以上过程用图表示如下：【热点、难点精析】（一）函数与方程1、零点的判定相关链接（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。（2）用定理：零点存在性
6、定理。注：如果函数在a,b上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，但不一定成立。（3）利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数，图象，其交点的横坐标是的零点。例题解析例判断下列函数在给定区间是否存在零点。分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。解答：（1）方法一：故存在零点。方法二：令得故存在零点。（2）方法一： 故存在零点方法二：设在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当时，两图象有一个交点，因此存在零点。2、函数零点个数的判定相关链接函数零点个数的判定有下列几种方法：（1） 直接求零点：令f
7、(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2） 零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a,b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0。还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点。（3） 画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。 例题解析判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。分析：求的值判断函数在上的单调性函数零点个数。解答：3、与二次函数有关的零点分布问题相关链接设是实系数一元二次方程的两实根，下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足于的条件：根的分布（且均为常数）图象满足的条件只有一根在之间或例题解析例（1）m为
8、何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点；有两个零点且均比-1大；（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求褛a 取值范围。分析：（1）二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；（2）利用函数图象求解。解答：（1）若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点，则等价于=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1方法一：方程思想若f(x)有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+ x2=-2m, x1x2=3m+4,故只需，故m的取值范围是方法二：函数思想若f(x)有两个零点且均比-1大
9、，结合二次函数图象可知只需满足，故m的取值范围是。（2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，即4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根，令g(x)= |4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点。故需满足0-a4,即-4a0.a 的取值范围是（-4，0）。（二）函数模型及其应用1、一次函数与二次函数模型相关链接（1）在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）；（2）有些问题的两变量之间是二
10、次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等。一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错。例题解析例某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架。已知制造x架该种飞机的产值函数为R(x)=3000x-20x2 (单位：万元），成本函数C（x)=500x+4000 (单位：万元）。利润是收入与成本之差，又在经济学中，函数（x)的边际利润函数Mx)定义为：Mx)=(x+1)-(x).求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（利润=产值-成本）问该公司的利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？ 解：P(x)= R(x)-
11、C（x)= -20x2+2500x-4000 (xN*,且x1,100)；MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(xN*,且x1,100)；P(x)= -20（x-）2+74125 (xN*,且x1,100)；则当x=62或63时，P（x)max=74120（元），因为MP(x) =-40x+2480为，则当x=1时，MP(x)max =2440元，故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。2、分段函数模型相关链接（1）很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数。（2）分段函数主要是每
12、一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起。要注意各段变量的范围，特别是端点值。例1某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。解答：先考虑由甲地到乙地的过程：0t2时，y=6t再考虑在乙地耽搁的情况：2t3时，y=12最后考虑由乙地返回甲地的过程：3t6时，y=124(t3)所以S(t)=函数图象（略）例2北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念
13、章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元。（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）。（2）当每纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值。分析：（1）利润=（售价-进价-管理费）（销售的纪念章数），注意价格取值是分段的；（2）分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小
14、。解答：（1）依题意即此函数的定义域为（0，40）（2）当0x20,则当x=16时，ymax=32400（元）；当20x40,则当x=时，ymax=27225（元）。综上可得当x=16 时，该特许专营店获得的利润最大为32400元。注：分段函数是一类重要的函数，生活中很多实例都是分段函数模型，解决此类问题主要是构造分段函数，然后分步解决，构造分段函数时要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏。3、指数函数模型相关链接指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率结合进行考查。在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示。通常可表示为（其中为原来的基础数，为增
15、长率，为时间）的形式。例题解析例某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。（101210=1127，1.01215=1.196,1.01216=1.210）分析：列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系观察规律，总结出y与x的函数关系按要求求解（2）、（3）两小题解答：（1）1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%),2年后该城市人口总数为y=
16、100(1+1.2%)+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)2同理，3年后该城市人口总数为：y=100(1+1.2%)3X年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x(xN).（2）10年后人口总数为100（1+1.2）10112.7(万)（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100（1+1.2%）x=120,x=log1.0121.2016（年）。因此，大约16年以后城市人口将达到120万人。注：高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握。解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意
17、，进行科学的抽象概括，将实际问题纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答。【感悟高考真题】1、（2010上海文数）17.若是方程式 的解，则属于区间 答（ D ）（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）解析： 知属于区间（1.75，2）2、（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若（1，），（，+），则（A）f()0，f()0 （B）f()0，f()0（C）f()0，f()0 （D）f()0，f()0解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题3、（2009北
18、京文）已知函数若，则 . 【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.由，无解，故应填.4、（2010天津文数）（4）函数f（x）= (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。因为f（0）=-10,所以零点在区间（0，1）上，选C【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。5、（2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_。解
19、析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，S的最小值是。6、（2010湖北理数）17（本小题满分12分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之
20、和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。17.本小题主要考查函数、函数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.(满分12分)解答:(I)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为.再由C(0)=8,得k=40,因此,而建造费用为.最后得隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和为(II)7、（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 解：（1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行
21、， ， 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.【考点精题精练】一、选择题1、（09-10学年广东深圳深圳高中高二期末（文）若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.438)
22、=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ C ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.52、若函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ D ）A若，不存在实数使得；B若，存在且只存在一个实数使得；C若，有可能存在实数使得； D若，有可能不存在实数使得；解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”3、关于“二分法”求方程的近似解，说法正
23、确的是（D）A“二分法”求方程的近似解一定可将在a,b内的所有零点得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，在a,b内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。4、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是A. B. C. D. 答案 A解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的
24、零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。5、某种商品，现在每件定价p元，每月卖n件。根据市场调查显示，定价没上涨x成，卖出的数量将会减少y成，如果涨价后的销售总金额是现在的1.2倍，则用x来表示y的函数关系式为（ C ）（A） （B）（C） （D）6、某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经过（ C ）（A） 12小时 （B） 4小时 （C） 3小时 （D） 2小时7、世界人口已超过56亿，
25、若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就相当于（ D ）（A） 新加坡（270万） （B）香港（560万）（C） 瑞士（700万） （D） 上海（1200万）8、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=1.06*(0.50*m+1)给出，其中m0,m是大于m的最小整数（如3=3，3.7=4,5.1=6）。则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为（ C ）（A） 3.01 (B) 3.97 (C) 4.24 (D)4.779、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004
26、年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ B ）(A)4200元4400 (B)4400元4600元(C)4600元4800元 (D)4800元5000元10、抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ C ）（已知lg20.0310）(A)6次 （B）7次 （C）8次 （D）9次11、方程lgx+x=3的解所在区间为（ C ）A(0，1) B.(1，2) C(2，3) D(3，+)解析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它
27、们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选C。12、（安徽合肥168中高三段考（理）11.下面关于函数的零点说法中正确的是（B）A不存在零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有两个或两个以上零点答案：B二、填空题1、由于微电子技术的飞速发展，计算机的成本不断下降，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为_2400元_.2、建造一个容积为8立方米，深为2
28、米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价_1760_元3、（湖北同升湖实验学校2010届高三月考（文）函数 则方程的实根的个数是_2_ 4、函数f（x） =的零点所在的大致区间是 （2，e） 三、解答题1、（09-10学年广东深圳深圳高中高二期末（文）（本小题满分14分）.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分
29、析得知：(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？解：（1）当，是增函数1分，且2分；，是减函数3分，且4分.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟5分.（2）7分，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中9分.（3）当时，11分；当，令12分，则学生注意力在180以上所持续的时间28.574=24.572413分，所以，经过适当
30、安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题14分.2、设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。解析：（1）函数f(x)=xln(x+m),x(m,+)连续，且当x(m,1m)时,f （x）f(1m)当x(1m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1m)根据函数极值判别方法，f(1m)=1m为极小值，而且对x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m故当整数m1时，f(x) 1m0(2)证明：由（I）知，当整数m1时，f(1m)=1-m1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
