1、综合素养评价（二）立体几何初步1.如图，RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB2，则这个平面图形的面积是()A.B1C.D2解析：选DRtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB2，RtOAB的直角边长是.RtOAB的面积是1.原平面图形的面积是122.故选D.2(多选)下列命题正确的是()A若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行B垂直于同一个平面的两条直线平行C空间中垂直于同一直线的两条直线相互平行D若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直解析：选BD当两个平面相交时，一个平面内的两条平行于它们交线的直线也平行于另一个平面，故A不正确；由
2、线面垂直的性质定理知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故C不正确；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D正确3.九章算术(卷第五)商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何？”译文为：“今有上、下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为(注：1丈10尺)()A45 000立方尺B52 000立方尺C63 000立方尺D72 000立方尺解析：选B进行分割如图所示，V2(VAA1MNEVAMNDPQVDPQFD1)
3、VBCGHADFE2156652651584052 000(立方尺)4.如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45解析：选D选项A、B、C显然错误因为PA平面ABC，所以PDA是直线PD与平面ABC所成的角因为ABCDEF是正六边形，所以AD2AB.因为tanPDA1，所以直线PD与平面ABC所成的角为45.5菱形ABCD在平面内，PC，则PA与对角线BD的位置关系是()A平行B相交但不垂直C相交垂直D异面垂直解析：选D如图，PC平面ABCD，PCBD.又
4、四边形ABCD是菱形，BDAC.PCACC，BD平面PAC.BDPA.显然PA与BD异面，PA与BD异面垂直故选D.6已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选A如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a，设O为底面中心，则SAO为SA与平面ABC所成的角AOaa，cosSAO.7.如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中DPC，则DE与平面PAC的位置关系是_解析：因为DE平面ABC，PA平面ABC，所以DEPA.又DE平面PAC，PA平面PAC，所以DE平面PAC.答案：
5、平行8已知直二面角l，A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离为_解析：如图，作DEBC于点E.由l为直二面角，ACl，得AC，进而ACDE.又BCDE，BCACC，于是DE平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离在RtBCD中，利用等面积法得DE.答案：9.如图，在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：PC平面OMN；平面PCD平面OMN；OMPA；直线PD与直线MN所成角的大小为90.其中正确结论的序号是_解析：连接AC，易得PCOM，所以PC平面OMN，结论正确同理PDON，所以
6、平面PCD平面OMN，结论正确由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2BC2PA2PC2AC2，所以PCPA，又PCOM，所以OMPA，结论正确由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MNAB.又四边形ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以PDC60，故错误答案：10.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由解：当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD.证明如下：
7、如图，连接BD交AC于点O，连接FO，则PFPB.四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MA綉PB，PF綉MA.四边形AFPM是平行四边形AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD，AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC，平面AFC平面PMD.11.如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数解：(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.AB平面BBCC，OC平面BBCC，OCAB.又OCBO，AB
8、BOB，OC平面ABO.OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，则sinOAC，OAC30，即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图，作OEBC于E，连接AE.平面BBCC平面ABCD，OE平面ABCD.OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE，tanOAE.(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90.12如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)求证：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解：(1)证明：在题图中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD90，所以BEAC.所以在题图中，BEA1O，BEOC.又A1OOCO，所以BE平面A1OC，又由题知CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知及(1)知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由题图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2.从而四棱锥A1BCDE的体积VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.
