1、习题课(三) 导数及其应用一、选择题1已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为()A. BC. D解析：选A由题意得f(x)x2xc，若函数f(x)有极值，则14c0，解得c.2若函数yx32axa在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是()A(0,3) B(，3)C(0，) D解析：选Df(x)3x22a，f(x)在(0,1)内有极小值没有极大值，即0a0，函数单调递增；当x(1，e)时，y0恒成立，则正实数a的取值范围为()A(0，e2 B(0，e2) C1，e2 D(1，e2)解析：选B根据题意，f(x)exaax(x(1，)，若f(x)0恒成立，只需a恒成立
2、设g(x)，则g(x)，分析可得，在(1,2)上，g(x)0，g(x)单调递增，可知当x2时，g(x)取得极小值，也是最小值，最小值为g(2)e2，所以a0，所以a的取值范围是(0，e2)6定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x1x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()Aex1f(x2)ex2f(x1)Bex1f(x2)ex2f(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1)Dex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)，则g(x).由题意知g(x)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即，所以ex1f(x2)e
3、x2f(x1)二、填空题7曲线y在点M处的切线方程为_解析：y，切线的斜率k.所求切线的方程为y0，即yx1.答案：yx18设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是_解析：由题意得f(x)3x24axa2的两个零点x1，x2满足x12x2，所以f(2)128aa20，解得2a6.答案：(2,6)9(2021新高考卷)函数f(x)|2x1|2ln x的最小值为_解析：当x时，f(x)2x12ln x，f(x)2.令f(x)0，得x1，令f(x)0，得x1，所以f(x)在上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)1.当0x时，f
4、(x)12x2ln x，f(x)20，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)minf2ln2ln 21.所以f(x)的最小值为1.答案：1三、解答题10已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x3.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极小值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.曲线在点(0，f(0)处的切线方程为y2x3，f(0)3，f(0)2，解得(2)由(1)，知f(x)ex(x3)x24x，f(x)ex(x2)2x4(x2)(ex2)令f(x)0，得xln 2或x2.当x(，ln 2)(2，)时，f(x)0；
5、当x(ln 2,2)时，f(x)0，故f(x)在(，ln 2)，(2，)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(2)4e2.11设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解：(1)f(x)x2axb.由题意得即(2)由(1)知f(x)x3x21，则g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，amax2，当且仅当x，即x时等号成立所以满足要
6、求的a的取值范围是(，2)12(2021全国甲卷)已知a0且a1，函数f(x)(x0)(1)当a2时，求f(x)的单调区间(2)若曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)，则f(x).当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.即f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)要使曲线yf(x)与直线y1有2个交点，即1有2个解，则有2个解令g(x)(x0)，则g(x)(x0)令g(x)0，解得xe.令g(x)0，解得0xe，此时g(x)单调递增；令g(x)0，解得xe，此时g(x)单调递减故g(x)maxg(e).而g(x)在xe时，g(x).又g(1)0，要使条件成立，则0.易得a(1，e)(e，)
