1、习题课等差数列习题课课时过关能力提升1在等差数列an中,已知a1=13,a1+a6=4,an=37,则n等于()A.50B.49C.56D.51解析设公差为d,因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=13,所以d=23,所以an=13+(n-1)23=37,所以n=56.答案C2在数列an中,已知a1=15,3an+1=3an-2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是()A.a21和a22B.a22和a23C.a23和a24D.a24和a25解析因为an+1=an-23,所以数列an是公差为-23的等差数列.所以an=15+(n-1)-23.因为a23=13,a24=-13,所以a23a240
2、.答案C3已知在等差数列an中,|a3|=|a9|,公差d0,则使数列an的前n项和Sn取得最大值的自然数n是()A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在解析d0,a90.即前5项或前6项的和最大.答案B4若数列an是等差数列,首项a10,a2 003+a2 0040,a2 003a2 0040成立的最大正整数n是()A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008解析因为a10,a2 003+a2 0040,a2 003a2 004|a2 004|.因为在等差数列an中,a2 003+a2 004=a1+a4 0060,所以S4 006=4 006(a1+a4 006)20.所以使S
3、n0成立的最大正整数n是4 006.答案B5已知数列an的通项an=11-2n,则|a1|+|a2|+|a3|+|a10|=()A.25B.50C.52D.100答案B6已知f(n+1)=f(n)-14(nN+),且f(2)=2,则f(101)=.解析令an=f(n),则an+1-an=-14,数列an为等差数列,且a2=2.an=a2-14(n-2)=10-n4.f(101)=a101=-914.答案-9147设f(x)+f(1-x)=6,则f(-5)+f(-4)+f(0)+f(1)+f(6)=.解析设S=f(-5)+f(-4)+f(0)+f(1)+f(6),即S=f(6)+f(5)+f(1
4、)+f(0)+f(-5).则+得2S=f(-5)+f(6)+f(-4)+f(5)+f(0)+f(1)+f(1)+f(0)+f(6)+f(-5)=126=72.故S=36.答案368“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为.解析由题意,可得an+an+1=5,所以an+1+an+2=5.所以an+2-an=0.因为a1=2,所以a2=5-a1=3.所以当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2.所以a18=3.答案39在等差数列an中,其前n
5、项和为100,其后的2n项和为500,则紧随其后的3n项和为.解析由题意,知Sn=100,S3n-Sn=500,又Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列,且公差为100.故S6n-S3n=(S6n-S5n)+(S5n-S4n)+(S4n-S3n)=600+500+400=1 500.答案1 50010在等差数列an中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn,(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;(2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|.解(1)因为a16+a17+a18=a9=-18,所以a17=-6.又a9=-18,所以d=a17-a917-9=32.首
6、项a1=a9-8d=-30.所以an=32n-632.若前n项和Sn最小,则an0,an+10,即3n2-6320,32(n+1)-6320,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,Sn取最小值.最小值为S20=S21=-315.(2)由an=32n-6320,得n21.所以当n21时,Tn=-Sn=34(41n-n2),当n21时,Tn=-a1-a2-a21+a22+an=Sn-2S21=34(n2-41n)+630.11设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Snn+2(n-1)(nN+).(1)求数列an的通项公式an;(2)是否存在正整数n,使得S11+S22+Snn-(
7、n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.解(1)Sn=nan-2(n-1)n.n2时,an=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1).an-an-1=4.数列an为a1=1,d=4的等差数列.an=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得Sn=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.Snn=2n-1.故S11+S22+Snn=n2,n2-(n-1)2=2 015,解得n=1 008.故存在n=1 008满足题意.12设数列an的前n项和为Sn,点n,Snn(nN+)均在函数y=3x-2的图象上,(1)求证:数列an
8、为等差数列;(2)Tn是数列3anan+1的前n项和,求证:37Tn12.证明(1)由题意得,Snn=3n-2,即Sn=3n2-2n,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以an=6n-5(nN+).又an-an-1=6n-5-6(n-1)-5=6,故an是等差数列.(2)由(1)知,设bn=3anan+1,则bn=3anan+1=3(6n-5)6(n+1)-5=1216n-5-16n+1,故Tn=121-17+17-113+16n-5-16n+1=121-16n+1,又nN+,所以016n+117,故37Tn12.
