1、天津市滨海七所重点学校2021届高三数学上学期期末考试试题本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.第I卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合，则（ ）ABCD2.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”函数的部分图象大致为A B. C. D.4.中国女排，曾经十
2、度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组，则成绩落在上的人数为（ ）ABCD5.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为( )AB C D 6.已知函数，则下述关系式正确的是（ ）A B C D 7.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为 （ ）ABCD8.设函数，给出下列结论：的最小正周期为 的图像关于直线对称在单调递减 把函
3、数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象。 其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD9.已知函数 (，且)在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D第卷 (非选择题，共105分)二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)10.若复数满足(其中是虚数单位)，则为_.11.在二项式的展开式中，含的项的系数为_.12.已知直线：被圆：截得的弦长等于该圆的半径，则实数 13.为了抗击新冠肺炎疫情，现从医院150人和医院100人中, 按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中医院至少有一人
4、的概率是_.设两名联络人中医院的人数为，则的期望为 .14.已知正实数满足，则的最小值为_ 15.已知平行四边形的两条对角线相交于点，其中点在线段上且满足=，=_，若点是线段上的动点，则的最小值为_.三.解答题(本大题5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.（本小题满分14分）中，角所对边分别为且（）求边及的值；（）求的值.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，（）证明：；（）求二面角的正弦值；（）在线段（不含端点）上是否存在一点,使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.18.（本小题满分15分）已知椭圆的离心率
5、为，、分别为椭圆的左、右焦点，为上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为.（）求椭圆的方程；（）若过的直线交椭圆于另一点，过作轴的垂线交椭圆于（异于点），连接交轴于点.如果时，求直线的方程19.（本小题满分15分） 设是等比数列，公比大于0，是等差数列,.已知，.（）求和的通项公式；（）设数列满足其中（i）求数列的通项公式；（ii）若的前项和为，求.20.（本小题满分16分）已知函数. （）令，讨论的单调性并求极值；（）令，若有两个零点；（i）求的取值范围；（ii）若方程有两个实根，且.证明：2021年天津市滨海七所学校高三毕业班联考数学试卷（理科） 评分标准一、 选择题（本题共9个小题，每小题
6、5分，共45分）BACDB ADCD二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).10. 11 12. 13 14 15 (注：两个空的答对一个空给3分)三.解答题(本大题5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. （本小题满分14分）解：（）因为， 1分由得， 3分 4分 6分由正弦定理得 8分（） 9分由于， 10分 12分 14分17. （本小题满分15分）解：（）法一：取PD的中点为H， 1分连接FH，HC.因为F为PA的中点，所以，又因为，所以,所以四边形BCHF为平行四边形，所以， 2分又因为 3分（）法二：由题意得： , 2分设平面PCD的法向量为， 3
7、分 4分 5分（）设平面PBD的法向量为，则 6分设平面BDF的法向量为，则 7分因此有 8分（注：结果正负取决于法向量方向）于是 9分所以二面角的正弦值为 10分(注：前面设角后面不写答话不扣分)（）设 11分 12分由（）可知平面BDF的法向量为 13分有解得 14分可得 所以 15分18. （本小题满分15分）解： （）当为椭圆的短轴端点时，取得最大值即； 1分又因为， 2分解得：， 3分所以椭圆方程为 4分（），根据题意，直线斜率存在且不为0设直线：， 5分联立得 6分， 7分即 8分由题意得： 9分（注：因为直线与直线关于轴对称，所以也可）所以直线：，令，则 10分(注：写出点坐标才
8、给分) 12分（注：写出向量坐标，没整理对给1分） 即 13分解得： 14分所以： 直线：或 15分19. （本小题满分15分）（）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得， 1分故. 2分设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 3分 故 4分所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（）（i） 5分 6分 7分（ii） 8分 9分（注：先求再求也没问题） 10分 11分 （等比求和1分，等差求和1分） 13分 14分（注：写成没问题） 15分（注：结果对即可如）20. （本小题满分16分）解：（）因为所以 1分 2分负正单调递减极小值单调递增(注意：没有列表，写清楚导函数符号单调性不减分，
9、没有写导函数符号直接出单调区间减1分) 3分所以单调递减区间为，单调递增区间为 极小值为, 无极大值. 4分（）有两个零点.因为所以 5分当时，单调递增，不可能有两个零点； 6分当时，令，得，单调递减；令，得，单调递增. 7分所以 要使有两个零点，即使，得， . 8分又因为，所以在存在唯一一个零点 9分且，所以在上存在唯一一个零点，符合题意. 10分综上，当时，函数有两个零点.法二：有两个零点，等价于有两个实根，（1） 5分令 6分当时，单调递减，且； 7分当时，单调递减；当时，单调递增； 8分 ， 9分要使（1）有两个实数根，即使，综上，当时，函数有两个零点. 10分（）有两个实根，令， 有两个零点,，所以 11分（注意：上来没有直接换元，写给1分）所以 （1） （2） 12分（注意：写给1分）要证，只需证，即证，13分所以只需证. 由（1）（2）可得，只需证. 14分设，令，则，所以只需证，即证.令，则， 15分. 即当时，成立.所以，即，即. 16分
