1、专题七 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第二讲概率、随机变量及其分布列1若事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)2若事件A与事件B互为对立事件，则P(AB)1，即P(A)1P(B)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率特别地，对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率也可表示为：P(B|A).1事件A与事件B相互独立设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立2独立重复试验在n次独立重
2、复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(4)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布()(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()1(2014新课标卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、
3、周日都有同学参加公益活动的概率为(D)A. B. C. D.解析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有2416种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：一天一人，另一天三人，有CA8种不同的结果；周六、周日各2人，有C6种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为.故选D.2甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为(D)A. B. C. D.解析：所有可能的比赛分组情况共有4
4、12种，甲、乙相遇的分组情况恰好有6种故选D.3(2015广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(B)A0.4 B0.6 C0.8 D1解析：记3件合格品为a1，a2，a3，2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个元素记“恰有1件次品”为事件A，则A(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个元素故其概率
5、为P(A)0.6.4(2015新课标卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析：3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选A.5已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：X1012Pabc若E(X)0，D(X)1，则a，b解析：由题知abc，ac0，12a12c221，解得a，b.一、选择题1若xA，
6、且A，则称A是“伙伴关系集合”，在集合M的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为(A)A. B. C. D.2电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为(C)A. B. C. D.解析：四个数字之和为23的情况有：09：59，18：59，19：58，19：49四种，基本事件总数为60241 440，故所求概率为P.3(2014陕西卷)设样本数据x1，x2， x10的均值和方差分别为1和4，若 yixia(a 为非零常数，i1，2，10)，则y1，y2， y10的均值和方差分别为(A)A1a，4
7、 B1a，4aC1，4 D1，4a解析：由题得：x1x2x1010110；(x11)2(x21)2(x101)210440.y1，y2，y10的均值和方差分别为：均值(y1y2 y10)(x1a)(x2a)(x10a)(x1x2x10)10a1a.方差(y1)2(y2)2(y10)2(x1a)(1a)2(x2a)(1a)2(x10a)(1a)(x11)2(x21)2(x101)24.故选A.4高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三好学生中女生占一半现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为(C)A. B. C. D.解析
8、：设事件A表示“任选一名同学是男生”，事件B表示“任选一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)依题意得P(A)，P(AB).故P(B|A).5(2015福建卷改编)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(A)A. B. C. D.解析：由题意知，阴影部分的面积S(4x2)dx(4xx3)|， 所求概率P.6有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(A)A. B. C. D.二、填空题7位于坐标原点的一个质点P按下述
9、规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是解析：点P移动5次后到达点(2，3)可看作是5次移动中选择2次右移、3次上移，故有C种不同的移动方法，而所有的移动方法有25种，故所求的概率为P.8(2015江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为解析：由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P.三、解答题9(2014全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相
10、互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望分析：(1)首先用字母表示有关的事件，Ai表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，i0，1，2；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备将D分解为互斥事件的和；DA1BCA2BA2CA2BC，再利用互斥事件的概率加法公式计算P(D)；(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，先用分解策略分别求P(Xi)(i0，1，2，3，4)，最后利用离散型随机变量数学期望公式求E(X)的值解析：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，i0
11、，1，2；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(1)DA1BCA2BA2CA2BC，又P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0，1，2，P(D)P(A1BCA2BA2CA2BC)P(A1BC)P(A2B)P(A2C)P(A2BC)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P()P(A2)P()P(C)P(A2)P(B)P(C)0.31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4.P(X0)P(A0)P()P(A0)P()(10.6)0.52(10.4)0.06，P(X1)P(BA0A0CA1)P(B)P(A0)P()P()
12、P(A0)P(C)P()P(A1)P()0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25，P(X4)P(A2BC)P(A2)P(B)P(C)0.520.60.40.06，P(X3)P(D)P(X4)0.25，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38.数学期望E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)0.2520.3830.2540.062.10甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败
13、者轮空比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数的分布列与期望E()解析：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)P(B1C2A3).(2)的所有可能值有2，3，4，5，6，且P(2)P(A1A2)P(B1B2)，P(3)P(A1C2C3)P(B1C2C3)，P(4)P(A1C2B3B4)P(B1C2A3A4)，P(5)P(A1C2B3A4A5)P(B1C2A3B4B5)，P(6)P(A1C2B3A4C5)P(B1C2A3B4C5).故的分布列为：23456P从而E()23456.
