1、房山区2020-2021学年度第一学期期中检测高一数学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合关系直接求解即可得答案.【详解】根据集合真子集的定义得：对任意的，均有，存在，使得，故.故选：C.2. 已知命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析】根据含有一个量词的否定变换形式即可
2、求解.【详解】：，：，.故选：D3. 下列函数既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逐个判断函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】函数既是奇函数又在区间上单调递减，正确；函数是偶函数，不正确；函数是奇函数，但是在区间上单调递增，不正确；函数是偶函数，不正确.故选：A.4. 函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】由零点存在性定理求解即可.【详解】由函数，得， 因为，所以函数的零点所在的区间是.故选：B.5. 已知，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质逐个
3、判断可得答案.【详解】由得，不正确；由得，所以，即，不正确；由得，正确；由得，所以，即，不正确.故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握不等式的性质是解决此题的关键，属于基础题.6. 若，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】作差比较可得答案.【详解】因为，且，所以，所以.故选：A7. 函数在区间上的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的对称轴，判断函数在区间上的单调性，根据单调性即可求解.【详解】，对称轴，开口向上，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以.故选：C8. 已知函数其中.若对任意的都有，则实数的取值范围是（
4、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据增函数的定义可得在上为增函数，再根据分段函数的单调性列式可解得结果.【详解】因为对任意的都有，所以，即，所以在上为增函数，所以，因为，所以.故选：B【点睛】关键点点睛：抓住分段函数分界点的函数值的大小关系是解题关键，属于基础题.9. 设，用表示不超过的最大整数，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】若“”，则设，取，有，即，说明充分性不成立；再分情况说明必要性成立.【详解】若“”，即或，当时，可推出；但当,，有，不能说明，即“”不能推出“”，
5、即充分性不成立.若“”，即或，当时，必有；当时，可推出或，即“”能推出“”，即必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.10. 运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似地满足函数关系.下表记录了铅球飞行中的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为（ ）（单位：m）（单位：m）A. mB. mC. mD. m【答案】C【解析】【分析】将点代入解析式，求出参数值，进而可得解析式，再利用二次函数的图像与性质，配方即可求解.【详解】由题意可知，函数过，三点，所以，解得，
6、所以，当时，取得最大值，故选：C第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11. 方程组的解集为_.【答案】【解析】【分析】解二元一次方程组即可求解.【详解】由，可得，解得，所以不等式组的解集为.故答案为：12. 已知函数，的定义域是_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据函数解析式，只需满足，解不等式组即可求出定义域，将代入解析式即可求解.【详解】由，则，解得且，所以函数的定义域为，.故答案为：；13. 已知函数的两个零点分别为和，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果.【详解】因为函数的两个零点分别为和，所
7、以和是的两个实根，所以，所以.故答案为：14. 为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过千瓦时但不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时.若某户居民月份交纳的电费为元，则此户居民月份的用电量为_千瓦时.【答案】【解析】【分析】根据题意，写出电费与用电量的函数关系式，根据函数值即可求解.【详解】设用电量为千瓦时，电费元，若时。 当时，则，解得，不满足题意；当时，则，解得，不满足题意；
8、当时，则，解得，满足题意.故答案为：15. 能够说明“若，是任意正实数，则”是假命题的一组整数，的值依次为_.【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】取，再使用反证法即可得出答案.【详解】取，即，所以若，是任意正实数，是假命题.故答案为：，16. 几位同学在研究函数时给出了下列四个结论：的图象关于轴对称；在上单调递减；的值域为；当时，有最大值；其中所有正确结论序号是_.【答案】，【解析】分析】利用定义研究函数奇偶性； 化简整理函数，利用反比例函数平移可知函数的单调性；结合单调性与对称性，可求出函数的值域，可知当时，的最大值；【详解】对于，函数定义域为，关于原点对称，即函数为偶函数，其图像关于轴
9、对称，故正确； 对于，当时，利用反比例函数性质，可知函数在上单调递减，故正确；由函数在上单调递减，知在上的值域为，当时，的值域为，利用偶函数对称性知的值域为，故错误；由知，当时，有最大值；故答案为：，【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值函数的奇偶性，单调性，值域，解题的关键在于研究函数时一定先求函数的定义域，利用定义域将绝对值函数写成分段函数，利用偶函数只研究上的性质，即可知道函数在定义域上的性质。三、解答题共5题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 已知集合，集合.（1）分别用区间表示集合和，求；（2）求，().【答案】（1），；（2）；().【解析】【分析】（1）解分式
10、不等式，根据区间表示法以及集合的补集运算即可求解.（2）根据集合的交、并、补运算即可求解.【详解】（1）或， 所以.（2）由（1）可得，().18. 已知关于的不等式的解集为.（1）当时，求；（2）当时，求.【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为【解析】【分析】（1）将代入，直接解一元二次不等式得；（2）对分类讨论解一元二次不等式.【详解】（1）当时，不等式为，整理得等价于，所以解集（2）当时，整理得，等价于当时，解集为当时，解集为当时，解集为【点睛】方法点睛：解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系
11、数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.19. 已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值.下面是某位同学的解答过程：解：因为，所以，根据均值不等式有其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍），所以的最小值为，因此，当时，取得最小值.该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程.【答案】有错误；答案见解析.【解析】【分析】由基本不等式适用的条件：“一正、二定、三相等”即可求解.【详解】错误原因表述为：不是定值，所以取得最小值不一定在处取得，或举反例当时，说
12、明是最小值是错误的都可以.正确解答为：因为，所以，由均值不等式有其中等号成立当且仅当，解得或（舍），因此，当时，取得最小值.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方20. 已知函数.（1）若，求证：函数是偶函数；（2）若，用定义证明函数在上单调递增；（3）是否存在实
13、数，使得在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在；.【解析】【分析】（1）利用定义证明函数的奇偶性；（2）用单调性定义证明函数的单调递增；（3）分当时，当时，当时三种情况，分别根据函数在上的单调性求函数最小值，即可求出的值.【详解】（1）若，的定义域为，关于原点对称，所以是偶函数.（2）任取且，由， 则由，知，得所以，若，函数在上单调递增（3）当时，在上，的最小值在处取得，令，解得，符合条件；当时，在上，的最小值在处取得，令，解得，符合条件；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值在处取得，所以此时最小值不可能是综上
14、，存在，使得在区间上的最小值为.【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.21. 定义在实数集上函数，如果存在函数（，为常数），使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.（1）判断是否为函数的一个承托函数？说明理由；（2）请写出函数的一个承托函数；（3）若函数为函数的一个承托函数，求的取值范围.【答案】（1）不是承托函数；答案见解析；（2）（答案不唯一）；（3）.【解析】【分析】（1）举特值：当时，不满足承托函数的条件；（2）设，根据承托函数的定义可判断是函数的一个承托函数；（3）根据承托函数的定义转化为对一切实数都成立，再根据二次函数的图象列式可解得结果.【详解】（1）不是函数的一个承托函数，理由如下：当时，此时，不满足承托函数的条件.（2）设，当时，当时，所以对一切实数都成立，所以是函数的一个承托函数.（3）若函数为函数的一个承托函数，则对一切实数都成立，即对一切实数都成立，当时，此时不是的承托函数当，则有，解得.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，解题关键是对新定义的理解和运用，属于中档题.
