1、专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有0.()(6)|a|b|ab|是a、b共线的充要条件()1已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则|ab2c|(D)A5B.C2 D32如果三点A(1，5，2)，B(2，4，1)，C(a，3，b2)在同一直线上，则(C)Aa3，b3 Ba6，b1Ca3，b2 Da
2、2，b13已知平面ABC的法向量为n(1，1，1)，直线l的方向向量为m(2，2，0)，则直线l与平面ABC 平行4已知直线l的方向向量a(2，3，)，直线m的方向向量为b(1，0，0)，则直线l与直线m的夹角是(A)A60 B90C120 D135一、选择题1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是(A)Aabc B.abcC.abc Dabc解析：cc()cba.2若A(x，5x，2x1)，B(1，x2，2x)，当|取最小值时，x的值等于(C)A19 B C. D. 3. (2014新课标卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA
3、90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)A. B. C. D.解析：如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴，则设CACB1，则B(0，1，0)，M，A(1，0，0)，N，故，所以cos，.故选C.4在三棱柱中ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A30 B45 C60 D90解析：取BC的中点为E，则AE平面BB1C1C，AEDE.因此AD与平面BB1C1C所成角即为ADE，设ABa，则AEa，DE，即有tanADE，ADE6
4、0.5在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AB1BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为(B)A30 B45 C60 D90解析：以A为坐标原点，AC，AA1分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，设底面边长为2a，侧棱长为2b.则A(0，0，0)，C(0，2a，0)，D(0，a，0)，B(a，a，0)，C1(0，2a，2b)，B1(a，a，2b)(a，a，2b)，(a，a，2b)，(a，0，0)，(a，a，0)由，得0，即2b2a2.设n1(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量，则又2b2a2，令z1.解得n(0，1)同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2.所以cos .故
5、45.6已知非零向量与满足0，且，则ABC为(D)A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形解析：由0得|.由，得BAC60，ABC为等边三角形二、填空题7等边三角形ABC与正方形ABDE有一个公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于解析：分别取AB、ED的中点F、G，连结FC、FG、CG.由题意知FCAB，FGAB，即CFG为二面角CABD的平面角，设AB1，则FC，在CFG中，CG.CGCF，取FG中点O，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，E，A，C，则M，B，N，cos，.8将正方形ABCD沿对角线
6、BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60.其中正确的序号是解析：取BD中点为O，连接AO，CO，则AOBD，COBD.BD平面AOC，ACBD.又ACAOADCD，ACD是等边三角形而ABD是AB与平面BCD所成的角，应为45.又(设ABa)，则a2a22a2a22aa2aa2a2cos，cos，AB与CD所成的角为60.三、解答题9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面
7、A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得D(0，2，0)，F(1，2，1)，A1(0，0，4), E.(1)易得，(0，2，4)于是cos，.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)已知(1，2，1)， ，于是0，0.因此，AFEA1，AFED，又EA1EDE，所以AF平面 A1ED.(3)设平面EFD的法向量u(x，y，z)，则即不妨令x1，可得u(1，2，1)由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量于是cosu，从而sinu，.所以二面角A1EDF的正弦值为.10如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互
8、相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.(3)求二面角ABED的大小解析：(1) 设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF1，AGAC1.所以四边形AGEF为平行四边形所以AF平面EG，因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC, 所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0，0，0)，A(，0)，B(0，0)，F，E(0，0，1)，D(，0，0)所以，(0，1)，(，0，1)所以0110，1010，所以CFBE，C
9、FDE.又BEDEE，BE平面BDE，DE平面BDE，所以CF平面BDE.(3)由(2)知，是平面BDE的一个法向量设平面ABE的法向量n(x，y，z)，则n0，n0.即所以x0，且zy，令y1，则z.所以n(0，1，)从而cosn，. 因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED的大小为.11(2015新课标卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解析：(1)如图，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1，0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
