1、第14章勾股定理一、选择题(每题4分,共24分)1.由下列条件能判定ABC为直角三角形的是()A.(b+c)(b-c)=a2B.A+2B=CC.a=2,b=3,c=4D.ABC=3453.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”,应假设()A.四边形中所有角都是锐角B.四边形中至多有一个角是钝角或直角C.四边形中至多有一个角是锐角D.四边形中所有角都是钝角或直角4.已知RtABC的三边长分别为a,b,c.若a=8,b=15,则c2等于()A.161B.289C.225D.161或2895.如图1,在ABC中,ACB=90,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点
2、M和点N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E.若AC=3,AB=5,则DE等于()图1A.2B.C.D.6.如图2,有一长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A沿长方体的表面爬到点B处,则它需要爬行的最短路径长为()图2A. cmB. cmC. cmD. cm二、填空题(每题5分,共40分)7.在ABC中,C=90,若AB=5,则AB2+AC2+BC2= .8.求图3中直角三角形未知边的长度:b= ,c= .图39.如图4,已知ABC中,ACB=90,以ABC的各边为边在ABC外作三个正方形,S1,S2,S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=
3、81,S2=225,则S3=.图410.已知RtABC中,C=90,若a+b=14 cm,c=12 cm,则RtABC的面积为.11.在ABC中,C=90,AB=10,AC=6,则另一边BC=,面积为,AB边上的高为.12.如图5,在长方形ABCD中,E是BC边的中点,长方形ABCD的周长是20 cm,AE=5 cm,则AB的长为cm.图513.如图6,AB为一棵大树,BC为地面,且ABBC,在树上距地面10 m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上C处有一筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经过的路
4、程都是15 m,则树高AB是.图614.如图7,在ABC中,ACB=90,O为ABC的三条角平分线的交点,ODBC,OEAC,OFAB,D,E,F分别是垂足,且BC=8 cm,AC=6 cm,则点O到边AB的距离为cm.图7三、解答题(共36分)15.(8分)如图8,在ABC中,点D在BC边上.若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)判断ABD的形状;(2)求ABC的面积.图816.(8分)如图9,在离水面高度为4米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为8米,此人以每秒0.5米的速度收绳,则6秒后船向岸边移动了多少米(结果保留根号)?图917.(10分)由于大风,山坡上的一
5、棵树甲在点A处被拦腰折断,如图10,其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处.已知AB=1米,BC=5米,两棵树的水平距离为3米,请计算出甲树原来的高度(结果保留根号).图1018.(10分) 如图11,A,B两个小镇在河流CD的同侧,到河的距离分别为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现要在河边建一自来水厂,向A,B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万元.请你选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用.图11答案1.A解析 (b+c)(b-c)=b2-c2=a2,即b2=a2+c2,ABC为直角三角形,故A选项符合题意;A+B+C=180,A+2B=C,2C=180+B,
6、C=90+B90,ABC不是直角三角形,故B选项不符合题意;22+3242,a2+b2c2,ABC不是直角三角形,故C选项不符合题意;ABC=345,A=180=45,B=180=60,C=180=75,ABC不是直角三角形,故D选项不符合题意.故选A.2.A3.A4.D5.C解析 如图,连结AE.在RtABC中,由勾股定理,得BC=4.由作法可知:MN是AB的垂直平分线, AE=BE.在RtACE中,由勾股定理,得AC2+CE2=AE2,即32+(4-AE)2=AE2,解得AE=.在RtADE中,AD=AB=,由勾股定理,得DE2+2=2,解得DE=.故选C.6.B7.508.1230解析
7、根据勾股定理即可求得未知边的长.熟练运用勾股定理,计算的时候注意简便方法的运用.根据勾股定理,得b=12,c=30.9.14410.13 cm2解析 如图,C=90,a2+b2=c2=144,(a+b)2-2ab=144,196-2ab=144,ab=26,SABC=ab=13 cm2.故答案为13 cm2.11.8244.8解析 根据勾股定理,得BC=8,面积是68=24,AB边上的高为=4.8.12.413.12 m解析 在RtABC中,B=90,设BC=a m,AC=b m,AD=x m,则10+a=x+b=15(m),a=5,b=15-x.又在RtABC中,由勾股定理得(10+x)2+
8、a2=b2,(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2,即AD=2 m,AB=AD+BD=2+10=12(m).故答案为12 m.14.2解析 由题意,得OD=OE=OF.根据勾股定理,得AB=10(cm).SABC=ACBC=68=24(cm2).又SABC=SAOB+SBOC+SAOC=ABOF+BCOD+ACOE=OF+OF+OF=12OF=24,OF=2 cm.15.解:(1)在ABD中,BD2+AD2=62+82=100,AB2=102=100,BD2+AD2=AB2.根据勾股定理的逆定理可知ABD是直角三角形.(2)由(1)可知ADB=90,ADC=180-ADB=90,AD
9、C是直角三角形,DC=15,BC=BD+DC=6+15=21,SABC=BCAD=218=84.16.解:在RtCAB中,由勾股定理,得AB=(米).设经过拉绳,6秒后小船到达点D处,如图.在RtCAD中,AC=4米,CD=8-0.56=5(米),由勾股定理,得AD=3(米).DB=AB-AD=(-3)米.答:6秒后船向岸边移动了(-3)米.17.解:过点C作CHAB,交AB的延长线于点H.在RtBCH中,CH=3米,BC=5米,由勾股定理,得BH=4(米),AH=5米.在RtACH中,由勾股定理,得AC=(米),甲树原来的高度为(1+)米.18.解析 本题求最节省的费用,实际就是要使AM与BM的和最小,可作点A关于CD的对称点A,连结BA,与CD交于点M,则点M即为所求.然后再利用勾股定理求出AB的长就是AM+BM的最小值.本题综合考查轴对称的性质和勾股定理,解决本题的关键是求出点M的位置.解:如图,作出点A关于CD的对称点A,连结BA,与CD交于点M,则点M即为所求的水厂的位置,此时AM+BM=AM+BM=AB.过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E,则DE=AC=AC=10千米.在RtABE中,BE=30+10=40(千米),AE=CD=30(千米),由勾股定理,得AB=50(千米),因此总费用为350=150(万元).
