1、第6章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选)下列函数是幂函数的有()A.y=1x2B.y=2x2C.y=x2+xD.y=x0(x0)答案AD解析因为y=1x2=x-2,所以是幂函数;y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数;y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=x0(x0)是幂函数.2.已知幂函数图象经过点(2,8),则该幂函数的解析式是()A.y=3xB.y=(22)xC.y=x3D.y=x22答案C解析设幂函数为y=x,因为图象经过点(2,8),所以y=2=8,解得=3,函数的解析式为y=x3.3.下列幂函数在区间(0,+)上是减函数的是()A
2、.y=xB.y=x2C.y=x3D.y=x-1答案D解析y=x,y=x2,y=x3在区间(0,+)上是增函数,y=x-1在区间(0,+)上是减函数,故选D.4.如图所示,给出四个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是()A.y=x13,y=x2,y=x12,y=x-1B.y=x3,y=x2,y=x12,y=x-1C.y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1D.y=x3,y=x12,y=x2,y=x-1答案B解析对于图,函数图象关于原点对称,为奇函数,且在(0,+)上为增函数,故只有y=x3符合;对于图,函数图象关于y轴对称,为偶函数,且在(0,+)上为增函数,故只有y=x2符合;对于图,函数
3、的定义域为0,+),且为增函数,故y=x12符合;对于图,函数的定义域为x|x0,且为奇函数,并且在(0,+)上为减函数,故y=x-1符合.故选B.5.设幂函数f(x)=kx的图象经过点(4,2),则k+=.答案32解析由题意得k=1,2=4=12,k+=32.6.已知点(a,8)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,若f(m)+f(1-3m)0,则实数m的取值范围为.答案12,+解析因为f(x)=(a-1)xb为幂函数,所以a-1=1,解得a=2,所以f(x)=xb.又(2,8)在f(x)上,代入解得b=3,所以f(x)=x3,为奇函数.因为f(m)+f(1-3m)0,所以f(m)-f(
4、1-3m)=f(3m-1).因为f(x)=x3在R上为增函数,所以m12,故实数m的取值范围为12,+.7.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为奇函数,则实数m=.答案2解析f(x)为幂函数,2m2-6m+5=1,解得m=2或m=1;当m=1时,f(x)=x2,不是奇函数,不满足题意;当m=2时,f(x)=x3,是奇函数,满足题意.综上所述,m=2.8.如图,幂函数y=x3m-7(mN)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,求此函数的解析式.解由题意,得3m-70,m73.mN,m=0,1或2.幂函数的图象关于y轴对称,3m-7为偶数.m=0时,3m-7=-7,m=1时,3
5、m-7=-4,m=2时,3m-7=-1.故当m=1时,y=x-4符合题意,即解析式为y=x-4.关键能力提升练9.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.nm0B.mnm0D.mn0答案A解析由图象可知,两函数在第一象限内为减函数,故m0,nn,故选A.10.(2020江苏镇江高一月考)已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在区间(0,+)上是增函数,则实数m的值是()A.-1或4B.4C.-1D.1或4答案B解析幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+)上是增函数,则m2-3m-3=1,m0,解得m=4.11.若幂函数f(
6、x)=qx-p2+2p+3(qR,pZ)在(0,+)上是增函数,且在定义域上是偶函数,则p+q=()A.0B.1C.2D.3答案C解析因为f(x)=qx-p2+2p+3(qR,pZ)是幂函数,所以q=1.又f(x)=x-p2+2p+3(pZ)在(0,+)上是增函数,所以-p2+2p+30,解得-1p3,因为pZ,所以p=0或1或2,当p=0时,f(x)=x3,易知f(x)=x3是奇函数,不满足题意,舍去;当p=1时,f(x)=x4,因为f(x)=x4是偶函数,满足题意;当p=2时,f(x)=x3是奇函数,不满足题意,舍去.所以p+q=2.故选C.12.(2021安徽宿州高一期中)已知幂函数f(
7、x)=(m2-4m+4)xm2-m-6(mR),对任意x1,x2(0,+),且x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则f(-3),f(-1),f()的大小关系是()A.f()f(-3)f(-1)B.f(-1)f(-3)f()C.f(-3)f(-1)f()D.f(-3)f()f(-1)答案A解析对任意x1,x2(0,+),且x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,即f(x)在(0,+)上是减函数,又f(x)是幂函数,知m2-4m+4=1,m2-m-6f(3)f(),即f(-1)f(-3)f().13.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的
8、是()A.f(x)是偶函数B.f(x)在定义域上是增函数C.f(x)的值域为0,+)D.f(x)在定义域内有最大值答案BC解析设f(x)=x,则4=2,解得=12,f(x)=x12=x,f(x)的定义域为0,+),不关于原点对称,故A错误;可得f(x)在定义域上是增函数,故B正确;值域为0,+),故C正确;f(x)在定义域内没有最大值,故D错误.14.(多选)已知函数y=xqp(p,q是互质的整数)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是增函数,则()A.p为奇数,q为偶数B.pq0答案AD解析由函数y=xqp的图象关于y轴对称知:函数y=xqp为偶函数,故q为偶数,p为奇数,又y=xqp在(0
9、,+)上是增函数,pq0.15.(多选)函数f(x)=x,x(-1,0)(0,1),若不等式f(x)|x|成立,则的取值可以为()A.0B.2C.1D.-2答案AD解析因为x(-1,0)(0,1),所以0|x|x|成立,x在(-1,0)(0,1)上应恒大于0,所以=1显然是不成立的.当=0时,f(x)=1|x|;当=2时,f(x)=x2=|x|21|x|.综上,的可能取值为0或-2.16.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x(为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”
10、,则解密后得到的明文是.答案9解析由题目可知加密密钥y=x(是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出的值.由题意得2=4,解得=12,则y=x12,由x12=3,得x=9.17.函数f(x)=x2+4x+5x2+4x+4的单调区间为;由f(x)的单调性得f(-)f-22(填“”“=”或“解析因为f(x)=x2+4x+4+1x2+4x+4=1+1(x+2)2=1+(x+2)-2,所以其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,如图所示.所以f(x)在(-2,+)上是减函数,在(-,-2)上是增函数,且图象关于直线x=-2对称.又因
11、为-2-(-)=-2,-22-(-2)=2-22,所以-2f-22.18.(2021山西怀仁第一中学云东校区高一月考)已知幂函数f(x)=x12+m(mN*).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若函数还经过(2,2),试确定m的值,并求满足f(2-a)f(a-1)的实数a的取值范围.解(1)mN*,m2+m=m(m+1)为偶数.令m2+m=2k,kN*,则f(x)=2kx,定义域为0,+),在0,+)上f(x)为增函数.(2)2=212=21m2+m,m2+m=2,解得m=1或m=-2(舍去),f(x)=x12,由(1)知f(x)在定义域0,+)上为增函数.f
12、(2-a)f(a-1)等价于2-aa-10,解得1a32,a的取值范围是1,32.19.已知幂函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.解(1)由f(x)为幂函数知-2m2+m+2=1,即2m2-m-1=0,得m=1或m=-12,当m=1时,f(x)=x2,符合题意;当m=-12时,f(x)=x12,为非奇非偶函数,不合题意,舍去.f(x)=x2.(2)由(1)得y=f(x)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1,即函数的对称轴为直线x=a-1,由题意知函数
13、在(2,3)上为单调函数,对称轴a-12或a-13,即a3或a4,a的取值范围是(-,34,+).学科素养创新练20.已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),且f(2)f(3).(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;(2)对于(1)中的函数f(x),试判断是否存在正数m,使函数g(x)=1-f(x)+2mx,在区间0,1上的最大值为5,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解(1)f(x)是幂函数,故k2+k-1=1,k=-2或k=1.当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)f(3),当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)0),当0m1时,g(x)在区间0,m上为增函数,在区间m,1上为减函数,g(x)max=g(m)=m2+1=5,m=2,均不符合题意,舍去.当m1时,g(x)在区间0,1上是增函数,g(x)max=g(1)=2m=5,m=52,符合题意.综上所述,m=52.
